## 数学思维5：为什么人们会觉得数学很难？

你好啊，我是何帆，欢迎回到我们的读书俱乐部。

我们这周的主题是数学思维。我们在本周讲了两个知识点，一个是线性外推，一个是统计学中的显著性检验。通过这两个案例的讲解，你会了解到，数学其实并不难，而且很有意思。可是，为什么很多人会觉得数学很难，很没有意思呢？听完今天的课，你会知道，这是因为数学是要一层一层抽象的，越抽象，就越难理解，但是，数学家在处理难题的时候，一样是要先简化，而且尽可能把抽象的问题形象化，然后才能得出深奥复杂的解答的。

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我们已经讲到，数学思维其实是我们的一种本能。我们的祖先在非洲的森林和草原上时，为了生存，需要辨别哪棵树上的果实最多，需要辨别来找他们打架的另一个群体是否人数更多，不，猿数更多。我们的祖先曾经生活在树上，经常需要在树枝间跳来跳去，他们需要很好的三维空间意识。当他们到了开阔的草原上，需要判断距离的远近，这就要求有二维空间意识。随着他们的生存环境变得越来越复杂，我们的祖先开始具有判断因果关系的意识。

这些都是最早的数学思维。但是，为什么自然而然出现的数学思维，最终并没有固化到我们的日常思维中呢？为什么我们大部分人还是觉得数学太难了呢？这里的关键是抽象。抽象是数学的工具箱中最具有威力的工具。只要有机会，数学家就会尝试抽象。到最后，他们就会彻底忘掉真实世界，专注于抽象的定义和概念。

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我再告诉你一个秘密。其实，儿童在小的时候都是有非常强的抽象思维能力的。如果没有抽象思维能力，孩子是不可能在短短一两年的时间内学会语言的。我们以后在讲到语言学的时候还会再详细地介绍。

同样，孩子在学习算术的时候，其实也是在运用抽象思维能力。孩子们之所以在学校里觉得数学难，很可能不是数学真的难，而是学校的教育方式有问题。教育学家在巴西做过一个实验，他们发现贫民窟学校里的孩子，有的数学成绩好，有的成绩不好，但这些孩子都有一个共同的特点，他们家里都很穷，孩子们下了课要帮着爸妈在市场上摆摊卖东西。在摆摊卖东西的时候，这些孩子都很会算账，数学能力都很棒，而且他们的这种数学能力跟在学校里的数学成绩之间是没有关系的。这说明数学能力是在应用中培养出来的。我们会看到有一些常年做出纳、会计、售货员这些工作的人，他们必须要跟数字打交道，所以日久天长，就锻炼出对数字的敏感，以及非常强的计算能力。

遗憾的是，在学校里，我们并不注重数学的运用，也不知道怎么培养学生的数学思维能力，于是，等学生到了高中开始学代数，或者是到了大学要学微积分的时候，会丧失本能的抽象思维能力，他们就会觉得数学太难了。不仅如此，学生们还会觉得，自己根本掌握不了数学这门学问，于是，这就变成了一种自我实现的预言。

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接下来，就让我告诉你，抽象思维到底是怎么一回事，我们怎样才能一层层拾级而上，达到更高的抽象思维境界。

我们可以把抽象思维分为四个层次。第一个层次的抽象思维是“眼见为实”的抽象。一把椅子，本来放在房间的这一边，然后被挪到房间的另一边。这还是那把椅子吗？是的，这还是同一把椅子。在作出这样的判断的时候，你其实已经运用了初级的抽象思维，而这种抽象思维能力，是不少动物都能够掌握的。这种抽象思维思考的各种事物，是在当前环境下能够见到的真实的事物。

第二个层次的抽象思维是“想到为实”的抽象。我告诉你马。你现在待的房间里没有马，但这不妨碍你想象出一匹马的样子。你和你的父母已经分开一段时间了，但你还是能够想到他们的音容笑貌。你以前养过一只小狗，后来送人了，但你还是能够记得当时和它在一起的日子。这种抽象思维是指，我们所思考的事物，是你不能在当前环境下亲眼所见，但却是你原本熟悉的事物。

第三种层次的抽象思维是“眼见为虚”的抽象。到这一层级，就只有人类才能拥有了。我们思考的事物在现实世界中其实是没有的，但我们能够虚构出来。比如，这个世界上没有龙，但是我们可以把各种动物的特征融为一体，创造出一种神兽。图腾是一种虚幻，神话也是一种虚幻。这都是有了概念之后，抽象出来的事物。

第四种层次的抽象思维是“想到为虚”的抽象。这才是数学思维的层次。数学对象是全然抽象的，它们同现实世界没有简单或者是直接的联系。我们在数学中用到的概念，比如“0”，比如虚数，你仔细想想，在现实中是没有这些东西的。这是一种更高层次的抽象。

进入到第四境界的抽象，你会发现，抽象之上还有抽象。比如说，你在小学一年级就知道，1+2=2+1，这叫交换律，你还会学到结合律、分配律。再大一点，学到乘法的时候，你又学会，1*2=2*1。再大一点，你开始学几何。你会发现，圆也是对称的，把圆的一半换到另一半，圆还是不变的。等到你学函数的时候，你会学到函数的交换律和结合律，等你学集合论的时候，两个集合之间也有交换律、结合律和分配律。等到你学到线性代数的时候，是不是又要讨论矩阵的交换律？如果你上的是数学系，学到群论的时候，是不是又要讲在什么时候下，群能满足交换律？你再想想，数学的本质是不是一以贯之的？数学就是一种关于模式的科学，有的模式相对简单，有的模式相对复杂，复杂的模式不过是模式的模式，甚至是模式的模式的模式，于是，我们就开始糊涂了。

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著名数学家波利亚谈到，解题有一些基本的技巧。

首先，从熟悉的题目出发。在解题的时候，首先要想一想有没有你已经知道的非常熟悉的数学题。从熟悉的题目开始，再进行更为复杂的推理。

其次，把复杂的题目简化。当你遇到一个看起来很复杂的题目时，首先要想怎样把它简化。先作出最简单的假设，即使这样的假设是非常荒谬的。从最简单的模型出发，一步步地再把它复杂化。从最特殊的例子出发，再一步步地把它一般化。

再次，把抽象的题目形象化。有很多数学家的天分并不是抽象思维能力，而是形象思维能力。他们本能地会从几何的角度找到代数的答案。形象思维和抽象思维并不矛盾，形象思维发达，会有助于你提升抽象思维。

总之，我们可以把数学设想为一个由乐高积木搭成的雄伟建筑。尽管看起来非常复杂，但如果仔细去看，你会发现它是由一个一个简单的模块拼装起来的。数学的本质思想就是简单的东西是复杂的，而复杂的东西其实是简单的。

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好了，到了今天的总结时间。

你在今天学到，数学思维是我们人类的一种本能，我们本来是会用这种本能的，但在学校的教育中却把这种本能丢掉了。很多人觉得数学很难，这是因为数学是抽象思维。可是，人人都会抽象思维。我们可以把抽象思维分为四种层次，前三种层次的抽象思维我们每个人都能熟练地掌握，只有第四种层次的抽象思维是需要我们加强锻炼的。这种抽象思维是我们在学习哲学、数学的时候用得到的。怎样锻炼我们的数学思维能力呢？不妨跟数学家学习一下。数学家在解题的时候，能简化就简化，能形象化就形象化，从熟悉的题目求解不熟悉的题目，从简单的题目求解复杂的题目，这就是提升数学思维的必由之路。

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德夫林在《数学犹聊天》中虚构了一个奇怪的世界，这个世界里，如果一对男女结为夫妻，还可以再跟第三者结婚，结婚之后，新的伴侣和原来的伴侣拥有同样的权利。这描述的是什么呢，其实就是分配率，（a+b）c=ac+bc。试着把数学的语言转化为日常的语言，把复杂的数学语言转化为简单的数学语言，能够方便你更好地理解和记忆数学知识。你还能找到哪些复杂就是简单的例子？

请你写下自己的留言，最好是150字左右。我会把最精彩的留言挑选出来，我们一起欣赏欣赏。

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### 💡 精华要点
- 四种抽象思维的层次：
- 1、第一个层次的抽象思维是“眼见为实”的抽象。
- 2、第二个层次的抽象思维是“想到为实”的抽象。
- 3、第三种层次的抽象思维是“眼见为虚”的抽象。
- 4、第四种层次的抽象思维是“抽象之上，还有抽象”。
- 前三种层次的抽象思维我们每个人都能熟练地掌握，只有第四种层次的抽象思维是需要我们加强锻炼的。

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数学思维4：零假设和显著性检验

通识日课：

我们来设计个科学研究好了。我们想研究在得到学习究竟有没有用。那么，我们的零假设是什么？我们怎样检验这个零假设到底成立不成立呢？不妨请你谈谈自己的看法。

> 用户 豌豆：
> H0： 在得到学习和不学习没有差异可以根据是否购买学习得到课程分为学习组和对照组，通过匹配两组的性别，知识构成等差不多的组成对，学习之前先比较一下，然后经过一段时间的学习，比较两组人在思维方式，知识构成，阅读量等方面是否有显著差异。同时，两组成员也可以做自身学习前后的比较。当然，如果能随机选取差不多层面的人，随机分为学习组和对照组，免费入组让一组人学习然后比较，那就更好了不过，评估学习得到课程有用，指的是哪方面有用？这个估计得先明确一下。

> 何帆
> 我统一回复一下。很多朋友的思考很好，但还没有达到能够做个科学实验的严密程度。如果用多元回归分析可能更容易，取决于有没有足够详细的数据。自我实验比较难做，但大家都有一些反思和应用，在我看来已经非常好了。

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