## 数学思维3：线性思维和线性思维的误区

你好啊，我是何帆，欢迎回到我们的《读书俱乐部》。

我们这周讲的是数学思维，主要是给你介绍一些简单而又深奥的数学知识，帮助你提升认知水平。今天，我们来讲讲线性思维以及线性思维的误区。

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要想预测未来，最好的办法是从确定性开始。经济学家经常要做预测。有一个笑话说，经济学家最喜欢干的事情就是预测，但是最不在行的事情也是预测。根据我的体会，如果要预测短期或者要预测长期相对容易，但最难的是预测中期。

预测短期和长期的时候会有更大的确定性，因为最简单的办法就是线性外推。一言以蔽之，线性外推的方法是说今天发生了什么，明天还会发生。如果今天太阳升起，那么明天太阳还会升起。如果今年孩子长高了一寸，那么明年孩子还会再长高一寸。

在现实世界中，确实有很多现象是线性变化，或者是类似线性变化的。比如，人只可能越来越衰老，不可能返老还童。在一般情况下，信息的增长只会更多，不会减少。再比如说，从中国经济来看，工业化和城市化的趋势都是很难逆转的。

在线性的趋势中，我们还可以再分辨出硬趋势和软趋势。硬趋势是你可以测量或者感知出来的趋势，软趋势是你似乎可以看得到，似乎可以预测出来的推测。我们能够比较有把握地预测笔记本电脑中芯片的处理速度会越来越快，这就是一个硬趋势。但是，哪一个电脑公司会最先开发出处理速度最快的芯片，这是一个软趋势，我们心里是没数的。

二战之后，美国军人纷纷回家，数百万家庭团圆。九个月之后，出现了百分之百可以预测的现象，美国出现了婴儿潮。出生于1946到1964年这18年时间的美国人口约有7800万。同样的婴儿潮也出现在二战后的日本、欧洲等发达国家。人口数据也是我们看得见、可预测的硬趋势。但是，在二战结束之后，人们本来认为企业订单会暂时减少，经济因此出现衰退，可是并没有发生预想的经济衰退。这就是一种更难预测的软趋势。

相对来说，预测短期和预测长期技术难度相对较小，而预测中期更为复杂。不说别的，在中期会有更多的波动，而这些波动的转折点是很难预测的。比如，即使你知道股票存在着泡沫，但泡沫什么时候崩溃是很难预测的。即使你知道股价被低估，但被低估到什么时候会出现反弹也是很难预测的。

在中期还有一些现象是周期性的，比如在农业中的播种和收割。我们每天看到日夜交替，看到的潮汐现象、月盈月缺、季节更替等等，都表现出了周期性。

所以，在预测中期趋势的时候，一定要慎之又慎。在预测中期趋势的时候，噪音更多，规律更复杂。我们会遇到波动，又会遇到周期。我们很难精准地预测未来的行情，不过，这没有关系，事实上，只要你能判断出转折点，就已经达到很高的水平了。

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尽管线性趋势是最简单最直观的，但是我们还要提醒自己，不是所有的现象都是线性趋势。盲目地应用线性趋势，有时会得出非常荒诞的结论。孩子们在青春期长得很快，但这并不意味着他的个子会一直长高。你的考试成绩从不及格提高到及格可能会比较容易，但要想把成绩从90分提高到100分就会很难。

有一个关于美国肥胖人口的研究，跟踪了大批的美国人，研究计算了超重美国人口的比例。按照这个研究，在20世纪70年代，体重超重的美国人不足美国总人口的一半。到20世纪90年代初，这个数字接近60%。2008年，几乎有3/4的美国人都超重了。这个研究听起来有道理吧？随着快餐食物的流行，发胖的人会越来越多。这个研究的思路就是线性外推。那么如果按照这个思路预测，到2048年，超过百分之百的美国人都会超重——这个结论一听就非常荒谬。为什么会出现这种荒谬的结论呢？很简单，随着超重人口的比例越来越高，未来的人均体重就会更重，那么，可能超重的人就会更少，原来的胖子就会显得没那么胖了。因此，超重人口的比例向百分之百靠近的速度会越来越慢，最终是不会超过百分之百的。

我们再举一个例子。最近在讨论特朗普减税的时候，媒体经常会提到拉弗曲线。拉弗曲线讲的是，随着税率的提高，税收一开始会增加，但是税率太高，会影响到人们的劳动积极性，税基会减少，税收反而会减少。

拉弗曲线对吗？这要取决于我们从什么角度来看。从数学的角度来看，拉弗曲线可能是对的。拉弗曲线指出，税率和税收的关系并非是线性的。从常识来看，拉弗曲线说的好像也有道理。假设你有1万元钱，原来征你5%的税收，现在征你8%的税收，政府自然能够收更多的钱。但是，如果征你100%的税呢？那你肯定就没有工作的意愿了，谁愿意干就让他去干好了。谁都不干活，最后，政府反而会变得无钱可征。

那么，为什么大部分经济学家对拉弗曲线嗤之以鼻呢？因为拉弗曲线缺乏坚实的理论基础。税率是不是决定政府税收收入的最重要因素呢？那不一定的，提高税收收入更有用的办法可能是提高征税效率。减税之后，人们的工作积极性是不是就会提高呢？这也不一定的，影响人们工作积极性的因素是很复杂的。我们以前讲过，有两个因素决定了你的工作积极性，一个是基础因素，一个是动力因素。金钱收入是基础因素，而动力因素则包括挑战性，获得认可感、责任感和个人成长等等。

大部分经济学家并不是说拉弗曲线的形状不对，而是说，我们在看待税改的时候不能简单用事。现在，美国高收入的税率远比20世纪绝大部分时间要低得多，也就是说，几乎没有经济学家认为美国现在正处在拉弗曲线的下行区域。

我们可以简单地评估一下特朗普减税的效应。特朗普减税对美国经济的影响未必像有一些朋友想象的那么大。第一，特朗普减税并不是发生在美国经济处在相对低迷的时期。经济学告诉我们，只有在经济低迷的时候，减税对经济增长的刺激作用才更加明显。 第二，特朗普的减税明显带有“劫贫济富”的色彩。这会加剧美国的贫富差距，使得本来已经撕裂的美国社会更加分化。第三，如果在减税的同时没有减少政府的支出，很可能会导致美国的债务压力越来越大。

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好了，到了今天的总结时间。

我们今天介绍了一种简单、粗暴而有力的分析方法，那就是线性外推。我们讲到，在预测短期和长期趋势的时候，线性外推法可以作为分析的起点。但是，在预测中期趋势的时候，要更多地关注波动和周期，关系未必是线性的。我再告诉你一个小窍门，在预测短期趋势的时候，我们可能会高估，在预测长期趋势的时候，我们可能会低估。

今天，我们用了两个例子，一个是美国肥胖人口的比例，另一个是拉弗曲线，让你了解到除了直线关系，还可能存在着非线性关系。各种非线性关系在某个局部看起来都可能很像线性关系，我们要看局部，更要看大局。

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常见的非线性关系有渐近线、抛物线、逻辑斯蒂曲线、指数型等等。你还有没有其它的补充？你能不能举一些符合非线性关系的例子？

请你写下自己的留言，最好是150字左右。我会把最精彩的留言挑选出来，我们一起欣赏欣赏。

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### 💡 精华要点
- 在预测短期和长期趋势的时候，线性外推法可以作为分析的起点。但是，在预测中期趋势的时候，要更多地关注波动和周期，关系未必是线性的。在预测短期趋势的时候，我们可能会高估，在预测长期趋势的时候，我们可能会低估。

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数学思维2：数学和语言是同宗同源的

通识日课：

我们讲到亚洲的孩子好像数学比美国的孩子更好。这也是一个很有争议的话题。有人说，中国的基础教育把孩子的数理化功底打得更牢靠，也有人说，我们现在学校里的理科教育把孩子的学习兴趣都弄没了。你是怎么看这个问题的？

> 用户 戚志光：
> 我认为我们国家的理科教育还是做的很扎实的，通过了高考的洗礼，大多数学生的数理化水平还是达标的。不过遗憾的是，这样的艰苦训练确实很容易抹杀掉学生的学习兴趣，同时人文科学教育太过弱化，导致很多上了大学的学生们对于人生最基本的问题缺乏认识。不过我依然认为中国的教育是成功的，它为社会的经济发展培养了当时适用的人才。只不过因为我们的经济发展速度太快了，现在需要的人才和之前不同了，我们就需要新的教育方式。我想得到所做的，也是教育的重要一部分。

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