## 手热效应是真的

你听说过「手热效应吗」？也叫「热手效应」，最早是出自篮球，意思是当球员状态上来的时候，因为连续投中了几个球，信心大增，后面更是连投连中。不管什么角度、多远距离，怎么投怎么有，如入无人之境，简直像打疯了一样。我们把这样的状态叫「手热」（hot hand）。如果一个球员状态特别好，我们可以说他的手“热得发烫”；如果一个球员连续几次都投不进，整晚低迷，我们就说他“双手冰凉”。

每个球员、每个教练、每个解说员和每个球迷都知道现在场上谁手热，谁手凉。这会影响到球队的战术。如果自己队有个球员现在手热，队员就会多给他喂球，尽量让他多投；而对方的策略，则是重点防守这个手热的球员，不让他出手。

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手热在篮球界是个常识，是个重要的技术看点。

但是在曾经很长的时间内，学术界和体育界对手热有巨大的分歧。

学术界认为手热是一个幻觉。

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假设有一个球员A，连续三次投篮都中了，第四次投篮又中了。那么这时候，A自己、教练、解说员、观众都会说，A现在手热，对吧？但是统计学家会说，这并不足以证明他手热。

因为我们可以设想一个球员B，我们严格设定，B是个机器人，每次出手的命中率是严格的50%，绝对没有手热。在这个绝对随机的情况下，就好像你连投四次硬币一样，你也有一定的概率得到四次连续的正面，对吧？B没有手热，可是B完美复制了A的行为。

所以你怎么知道A的四连中就是因为真手热，而不是像B一样纯属运气好呢？

从科学角度，要想证明真手热，必须是前三次投进以后，第四次投中的概率要高于你平时投中的概率才行。如果你平时的命中率是50%，连进三球之后你的命中率达到60%，那我们承认你是手热，是你的信心提高了你的命中率。

要在统计学上验证手热效应是比较麻烦的，这就引出一篇1985年发表的认知心理学论文 [1]。论文有三个人署名，学者们用他们的首字母把这篇论文简称为「GVT」，其中这个“T”，是阿莫斯·特沃斯基（Amos Tversky）。

特沃斯基是谁呢？他曾经跟《思考，快与慢》的作者、诺贝尔经济学奖得主丹尼尔·卡尼曼长期合作，只是因为他去世比较早，没等到诺贝尔奖。特沃斯基是卡尼曼看家理论的共同创始人。

GVT论文考察了1980到1981年赛季，费城76人队全部48场主场比赛的所有投篮记录，使用统计方法寻找手热效应的证据——结果发现并没有这样的效应。他们甚至还发现有的球员连续命中之后，再投的命中率不但没上升，反而还下降了。

所以特沃斯基等人得出结论，手热只是一种幻觉。

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GVT论文引起了轩然大波。媒体争相报道，学术界津津乐道，体育界则是坚决反对。球员说手热当然是真的！进入手热状态的时候我感觉明显不同，我信心十足、动作舒畅、怎么投怎么进，你们怎么可以说那是幻觉呢？

但学术界不为所动。丹尼尔·卡尼曼在2011年出版的传世名著《思考，快与慢》中，专门把手热效应当作一个认知偏误讲，作为「小数定律」的一个例子。

小数定律的意思是如果统计样本太少，那就各种极端情况都可能出现，你根本就不应该当真。

比如有一个电影公司请了一位新CEO。这个CEO到位之后，公司连出三部电影都大获成功。那么请问，我们能据此说这个CEO能力特别强吗？卡尼曼说不能，因为三个例子还是太少了。换任何一个人当CEO，只要他运气好，哪怕随机出电影，也有可能连出三个成功的电影。数据少，就别轻易下结论，这就是小数定律。

所以一个球员连续投中三四个球，我们当然也不能说他处在手热状态。卡尼曼引用了GVT论文，说手热是一种认知偏误。

这样手热效应就成了一个教科书式的认知偏误案例，被广泛流传，称为「热手谬误」（hot hand fallacy）。

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然而体育界始终不服。而有意思的是，学术界并没有停止对手热的研究。

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2014年，数学家乔丹·艾伦伯格（Jordan Ellenberg）出了本书叫《魔鬼数学》[2]，书中又列举了几个跟手热有关的研究。

严格说来，前面说的GVT论文只是证明了“统计方法没有足够证据说明手热存在”——但并没有证明“手热不存在”。你体会一下这其中微妙的差别。

那么有两个计算机科学家，凯文·科布（Kevin Korb）和迈克尔·斯蒂尔韦尔（Michael Stillwell），就换了个思路考察手热。他们使用计算机模拟篮球比赛，其中直接设定，一个球员就是手热：他投篮命中率一次比一次高。然后他们拿着这个“真手热”球员打出来的比赛数据，用前面提到的特沃斯基等人的统计方法去分析，看看能不能证明这个球员手热。

你要知道，真手热的球员，虽然命中率高，也不是说就能百发百中。反应在计算机模拟结果之中，你看到的依然是有的球进了，有的球没进。问题是这种高命中率能不能在统计意义上证明手热。

答案是不能。这是因为统计学上要想证明一个事情“有”，有极为严格的标准；而篮球比赛中球员出手的次数是非常有限的，你就算手热也没有太多表现机会。

那么这两个计算机科学家就说，你看我这设定就是手热，你的方法都证明不了手热——那你又何以证明真实球员就没有手热呢？你只能说你不能证明有手热，你不能说你证明了没有手热。

「不能证明存在」≠「证明不存在」，这个道理很清楚吧？

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手热派扳回一城。

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紧接着到2015年，事情发生了一个戏剧性的大逆转。

两个经济学家，乔希·米勒（Josh Miller）和亚当·圣胡尔霍（Adam Sanjurjo），发现 [3]1985年那篇GVT论文里，特沃斯基等人犯了一个不明显、但是非常严重、而且是决定性的统计错误：那篇论文完全整错了。

这个发现引发了学术轰动，艾伦伯格专门为此写了一篇专栏文章 [4]，介绍这个错误。

简单说，这个统计错误是把「比率的平均值」当成了「平均值的比率」。

具体的细节非常技术化，你只能去研读米勒和圣胡尔霍的论文，我们这里讲讲艾伦伯格打的比方。比如我们考察哈尔滨所有有孩子的家庭，算算每个家庭的男孩和女孩之比。如果老张家有两个男孩和一个女孩，那么他家的男孩女孩比率就是2。

我们给每个家庭都算一个这样的比率，那么请问，所有家庭比率的平均值会是多少？

直观的答案是1，因为男女的出生比例很接近1:1，但这是错误的答案。

正确答案应该是无穷大！这是因为有些家庭只有男孩没有女孩，这样的家庭的男女孩比率就是无穷大。你把几个无穷大算进来，再取个平均值，结果肯定还是无穷大。

这就叫「比率的平均值不等于平均值的比率」。特沃斯基等人恰恰就犯了一个类似于这样的统计错误。

纠正这个错误之后，使用他们原来那组数据，你会发现球员在连续投中几个球之后，命中率要比平时高出12%！这是典型的手热！

12%是什么概念呢？这相当于是一个普通NBA球员和斯蒂芬·库里之间的差距。这也就是说，当一个球员手热的时候，他是球星水平。

手热，是真的。

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2020年，体育记者本·科恩（Ben Cohen）专门出了本叫《热手效应》的书 [5]，把整个故事的来龙去脉详细讲了一遍。书中一个有意思的细节是丹尼尔·卡尼曼在2015年听说了米勒和圣胡尔霍的研究，当众承认了特沃斯基等人的错误，也承认了手热效应是存在的。

但问题还没完。用GVT论文中的旧数据分析出手热效应能把投篮命中率提高12%，这好像也不太靠谱。毕竟特沃斯基等人的数据非常有限，也没考虑到充分的细节。我们需要更好地量化手热效应。

有人对NBA2012-2013赛季做了一个特别详细的分析，使用了15个摄像机位，精确量化了球员的每一次投篮。这一次研究者考虑到，当一个球员感到手热的时候，他会选择一些更高难度的投球：在离篮筐很远的地方、在被人重点防守的情况下也敢投。这时候哪怕进球率比平时低一点，也应该算在手热里面，因为难度增加了。

把细节考虑进去，研究认为 [6]，手热，大约能让投篮命中率提高1.2%到1.4%。

这样的研究肯定也是不完善的。不同的球员、在不同的比赛中感受到的手热程度不一样，有时候滚烫有时候微热，恐怕不能一概而论。但是那些效应就更难统计了。

我们的最终结论是手热效应是存在的。如果你感觉状态特别好，就应该大胆地去投篮。

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但是我必须提醒，手热效应绝非无处不在。

比如在赌场里你就不应该相信手热。你今天连赢好几把，觉得自己运气来了，必将继续连赌连赢……那你就绝对是幻觉。理性的你应该坚信赌博的概率是固定的，跟你的感觉没关系。

还有金融上应该也没有手热效应。我们专栏多次讲过「有效市场假设」，对短期交易来说，股市基本上是随机的。有很多个研究都证明一家股票基金今年的表现很好，绝不代表明年也会好——股票基金的表现不能排除纯随机的可能性。有效市场假设是非常强硬的。

更重要的是，「小数定律」是真的，而且是比手热效应更强大的规律。昙花一现的高光表现太多了，很可能真的就是运气。

所以在我看来，这一讲我们思考的其实是一个巨大的悖论：当一个人表现好的时候，你真的很难说他是因为某种真实的内在素质强，还是单纯只是运气好。

比如2022年卡塔尔世界杯葡萄牙队对瑞士队的比赛中，第一次参加世界杯的21岁小将拉莫斯，一上来就进了3个球。这是1990年以来第一次有人在世界杯淘汰赛中完成帽子戏法。那你能说拉莫斯是个超级天才吗？

统计学家肯定不会同意。统计学家会说，我用计算机模拟若干届世界杯，我设定所有球员的能力都是一样的，也可能会得到一个球员在一场比赛中进三个球的情况，而我知道那完全是运气。

所以如果数据少，我们真的很难分得清有多大成分是能力，有多大成分是运气。

这大概是个永恒的悖论。下次取得任何成绩，你不妨问问自己：这到底是因为我厉害，还是因为我运气好？你会发现你很难真诚地向别人证明。

你大约只能说，「如人饮水，冷暖自知。」

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注释

[1] Thomas Gilovich, Robert Vallone, Amos Tversky, The hot hand in basketball: On the misperception of random sequences, Cognitive Psychology, Volume 17, Issue 3, 1985.

[2] Jordan Ellenberg, How Not to Be Wrong: The Power of Mathematical Thinking (Penguin Press,  2014). 得到有中文版《魔鬼数学》。

[3] Miller, Joshua Benjamin and Sanjurjo, Adam, Surprised by the Gambler's and Hot Hand Fallacies? A Truth in the Law of Small Numbers (November 15, 2016). IGIER Working Paper No. 552.

[4] JORDAN ELLENBERG, “Hot Hands” in Basketball Are Real: Experts have been arguing about these statistics for decades; now we know why. slate.com, OCT 26, 2015.

[5] [美] 本·科恩著，《热手效应》（湛庐文化，2022）。英文版 The Hot Hand: The Mystery and Science of Streaks (Custom House, 2020).

[6] Keith O’Brien, The ‘hot hand’ might be real after all, bostonglobe.com, February 9, 2014.

### 💡 精华要点
- 1.手热效应是存在的。如果你感觉状态特别好，就应该大胆地去投篮；
- 2.手热效应绝非无处不在，比如在赌场里、在金融里。昙花一现的高光表现太多了，很可能真的就是运气；
- 3.当一个人表现好的时候，你真的很难说他是因为某种真实的内在素质强，还是单纯只是运气好。
