## 104｜延展话题：衍生品是如何定价的？

你好，欢迎来到香帅的北大金融学课。

这两周，我们讲的金融衍生品是金融学中最抽象的部分，平时在商学院的课程里也是难点。今天是这个模块的最后一节课，我要跟你分享的是一个特别有意思的话题，衍生品的定价问题。

这个问题实际上是涉及到了金融学和经济学的本质差异。

很多同学在我们课程开始的时候就会问到，经济学和金融学有什么不同？在前面的课程里，我曾跟你从学科的逻辑上做过分析，今天把这个问题再细化一下：一般商品和金融品的定价到底有什么不同。

一般的商品，比如说苹果、梨子，它们是怎么定价的呢？一个平时我们不假思索冒出来的答案是，通过供求关系决定的。对苹果、梨子的供求均衡点就决定了市场价格。供给和需求的一般均衡是经济学里边最基本的分析框架。开始的时候，很多学者也想用这种方法给衍生品定价，但是就发现很困难。

第一，买苹果和卖苹果的人，一般是两拨人。但是证券不一样，在金融市场上，买股票和卖股票的常常是同一拨人。这就导致了这个供给曲线非常模糊，甚至画不出来。

第二，证券是高度可替代的，买苹果公司股票的人只在乎股票的回报和风险，只要另一个股票能够提供和苹果公司一样的风险和收益率，投资者就特别容易将其取代。但是买苹果手机的人不一样，他更看重的是产品本身，所以这就导致需求曲线也不好画。

很明显，传统的供求分析在解决金融市场的问题的时候碰到了困难。那怎么办呢？市场上的投资人和书斋里的经济学家最大的区别是：他们对那些虚无缥缈的均衡、效用函数都不是很感兴趣，他们需要一个非常简单的定价原则来指导自己买入和卖出的决策。比如说什么时候买入？便宜的时候买入，对吧？那怎么确定一个金融资产是不是便宜呢？为了解决这些问题，聪明的人就想出了一套完全不依靠供求分析框架的“无套利定价”，这也就成为了金融学里面定价的基本原则。

无套利定价的原理其实非常简单，两个未来现金流一样的金融产品，就应该定价一样，否则就会存在确定的低买高卖机会，即“无风险套利机会”。这种“白吃的午餐”，一定在市场上会被人发现，然后迅速地进行套利，一直到这个套利的机会消失。

换成大白话说，无套利定价理论是一套基于“天下没有白吃的午餐”这个原则的定价方法，给衍生品定价，其实就像法官进行民事调节一样，你定出来的价格要使得买卖双方都感到公平：尽义务的一方要有适当的补贴，得到权利的一方也得出适当的价格，要不然有一方沾光了，市场没有达到你情我愿，这个交易就进行不下去了。

刚才你已经知道了，供需定价和无套利定价是区分一般商品和金融品定价的一个关键点之一。那么接下来我们再来看，你怎么用这个无套利定价理论给衍生品定价呢？

现在你可以把衍生品想象成一个果篮，果篮里面的水果，苹果、桔子、火龙果，它们都叫做基础资产。那果篮的价格肯定是随着水果的种类和质量而变动的。果篮的具体价格怎么计算呢？你应该是把各种水果占的比重（权重）给算出来，然后加起来大约就是果篮的价格。如果这个果篮的价格和果篮里的水果偏差很远，比如说一个100块的果篮里有大量樱桃、榴莲这种高价水果，又或者说一个500块的果篮里全部是便宜的苹果、梨子，这就意味着市场上有套利空间。聪明的人就会挖掘出来，然后进行套利，一直到这个套利的机会消失。

要是衍生品很复杂，已经做成了果盘、果酱、果干，那怎么办呢？其实还是一样的逻辑，把衍生品还原成基础资产，也就是分析果酱的成分比重，然后再将各个成分加回来。所以这里关键的一步就是要把衍生品还原、拆分成基础资产。

很多学者就开始想方设法地将水果制成品拆成原生水果，也就是将衍生品拆解成基础资产的组合。

到了1973年的时候，几位天才的学者莫顿(Merton）、斯科尔斯（Scholes）和布莱克（Black），他们就发现了，用无套利的思想可以拆解期权。

既然期权的价格是随着股票价格波动而波动的，那么我们一定可以找到一个办法，把这两个金融资产进行完全对冲，然后组成一个无风险的资产组合。根据无套利定价理论，一个无风险的组合一定会取得无风险的收益率，所以一个期权就可以拆解成股票加上无风险资产的组合。从这个组合出发，我们可以应用比较复杂的数学，像伊藤定理推导出一个期权价格所满足的微分方程，这就是几乎每个金融人士都耳熟能详的（Black-Scholes）微分方程。这个方程的解就是期权的价格。

这个方程在数学上并不是那么复杂，但是它特别牛的地方就在于，它给出了金融衍生品定价的一般定理。以后，每个想给金融衍生品定价的人，只要想办法，把衍生品和它的基础资产（它可以是股票，也可以是债券，或者是任何金融产品）组成一个无风险的组合，那就可以得到衍生品价格所服从的微分方程，也就是可以利用数学知识给衍生品精确定价了。

这次的突破对金融界的影响是极为深远的，甚至被称为“华尔街的第二次革命”。

其实一直以来，衍生品面临的最大难题之一就是定价问题，因为你不能够准确定价，就没有办法形成市场交易。有了这么一个数学工具，大量在物理、数学领域的“书呆子”们都涌入了金融衍生品行业，成了第一代的宽客（Quant）。金融行业也开始进入了全面数字化和工程化的时代。对冲基金兴起，华尔街的量化之风越刮越猛，衍生品的交易量迅速地超过了股票和债券的交易量，成为数十万亿美金的市场。莫顿和斯科尔斯也因此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。为什么布莱克没有获得这个奖呢？因为当时他已经去世了。

衍生品市场的真正形成是从衍生品定价开始的，而衍生品市场的形成对全球金融格局都有重大影响。一方面衍生品为资管行业提供了丰富的风险对冲工具，产生了很多的金融创新，促进了全球的金融深化，也促进了资本的有效配置。但是另一方面，因为衍生品定价的高度数学化和工程化，从此以后就会使得金融看上去更加复杂，大大地增加了信息不对称。而且作为金融创新产品，衍生品天生是具有高杠杆、少监管的特征，这些特征又刺激了人性中的贪婪和欲望。所以从九十年代以来，很多次的金融危机和金融衍生品是密切相关的。这也就是很多人对金融衍生品爱恨交织的原因。

最后我想补充一点点金融数学的花絮。在课程里，我提到了，要将衍生品还原成基础资产，其实这中间要用到一个很重要的数学知识点，“泰勒展开式”。“泰勒展开式”是什么呢？它就是一个将复杂函数近似还原成简单多项式的过程。在衍生品定价里面，我们用“泰勒展开式”，把衍生品去投影还原成基础资产的组合，这就相当于把质的困难转化为量的复杂，“泰勒展开式”在金融里面的运用也是数学工具能够在金融行业独领风骚的开始。在布莱克-斯科尔斯模型中应用的伊藤定理也是“泰勒展开式”的一个应用，它是数学和金融这两个学科打通的关键节点之一。

### 💡 精华要点
- 1. 金融产品的交易双方难以区分，产品本身具有高度的可替代性，所以它的供求曲线非常模糊。定价需要脱离传统经济学的供求框架；
- 2. 无套利定价理论是一种用工程学思想给衍生品定价的方法：将衍生品还原拆分成基础资产和无风险资产的组合，得到衍生品价格所服从的微分方程去求解；
- 3. 无套利定价理论的诞生使得衍生品的交易迅速风靡，既促进了金融深化和资本的有效配置，也加深了金融市场的信息不对称。

> 香帅
> 今天我们在课程里讲到的无套利定价理论，虽然在数学上非常复杂，但是你会发现，其实它在逻辑上是非常简单的，就是“天下没有白吃的午餐”。我想问你一个很有趣的问题，你认为天下有白吃的午餐吗？请你结合今天的课程，想一想在金融市场上有没有套利机会，或者在你的生活中、工作中，你觉得有没有这样的无风险套利机会？
> 欢迎你把你的留言放在留言区跟我们一块儿分享，你也可以问问你周围的朋友，看他们是不是感觉到在金融市场上，或者自己的生活中有无风险套利的机会。

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