## 474｜周日荐书：《心中有数》，分享4个生活中的有趣数学案例

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如果你和我一样，是学理科的，可能会有类似的感受，那就是以前在高中或者大学里学数学、物理的时候，总会忍不住想，“这些东西学了到底有什么用？”我最近刚好读了一本挺有意思的书，叫《心中有数：生活中的数学思维》，是北航计算机学院的刘雪峰老师写的。

看完之后我很受启发。启发点倒不是说它讲清楚了哪些数学知识，而是让我意识到，其实我们生活中很多早就习以为常的现象或物品，背后都有大量的知识逻辑支撑。只不过我们太熟悉它们了，以至于早就失去了那种“想去问一问为什么”的好奇心。

而且更大的启发在于，AI时代，提出一个好问题，比得到一个标准答案更重要，这是 AI 所无法替代的人类优势。而数学训练的核心价值，恰恰就在于此——它教会我们如何提出假设、推理判断，理解背后的结构与逻辑。

接下来我给大家分享几个刘老师书里的例子。

第一个例子是关于“概率”的。现在的数学教育，从小学阶段就开始接触概率的概念了，但很多时候我们学到的只是怎么去计算概率，对它的理解停留在表面。

而在《心中有数》这本书里，刘老师提到，其实在概率的世界里，有两个特别重要的核心思想：第一，我们很难在事前就确定某件事一定会发生什么结果；第二，虽然结果无法完全掌控，但它发生的概率，是可以通过我们的努力去改变的。

刘老师拿农民种地来举例子，他说，一个农民其实没办法保证自己今年一定能有好收成，因为像恶劣天气、病虫害这些不可控因素，可能随时会摧毁他一整年的努力，这就是“事前无法确定结果”。

但另一方面，如果这个农民平时认真耕作、提前做好防虫措施，就可以大大提高获得好收成的可能性。换句话说，一个懒惰的农民，有好收成的概率是 10%，而一个勤劳的农民，能把这个概率提高到 90%。这就是虽然无法在事前确定结果，但是我们可以改变结果发生的概率。

看到这里，我就想起了那句话，“但行好事，莫问前程”。所以刘老师在这一章最后总结说：真正拥有“概率世界观”的人，应当有这样一种人生态度——那就是平静接受现实，努力改变概率。

第二个让我印象很深的例子，是关于“多样性红利”的。这个概念听起来挺宏大，但刘老师居然是从一个我们小学就见过的经典题目——鸡兔同笼——切入来讲的。

大家都知道，解鸡兔同笼这类题，其实就是列一个方程组。但作者的角度很有意思：他说，列方程组的这个过程，其实就是从多个不同角度去观察同一个问题，而解方程组的过程，则是把这些不同角度的观察结果整合起来，找出问题的内在本质。

这个观点听起来可能有点抽象，但其实在很多实际领域里，早就已经在应用“多样性”的力量了。

比如哥伦比亚商学院的菲利普斯教授就做过一项很有意思的研究。他设计了一个解谜游戏，要求参与者破案——就是那种典型的谋杀案推理任务。每个参与者或小组都会拿到一堆非常复杂的线索材料，任务是推断出谁是真正的凶手。

这个实验的重点不在谜题本身，而是在考察“团队构成”对推理结果的影响。所以他设计了三种不同的团队方式：第一种是参与者自己单独破案；第二种是由几个背景相似、兴趣相投的好朋友组成团队；第三种则是由几位朋友再加上一位社会背景完全不同的陌生人组成的队伍。

最后的实验结果差别非常明显。有陌生人加入的小组，在 75% 的案件中都成功找到了真相；而由好朋友组成的小组，准确率只有 54%；至于单打独斗的个人，正确率就更低了，只有 44%。

这就是“多样性红利”的体现：当一个团队里有更多不同的视角、经验和背景时，往往能看到问题更全面的一面，从而更接近真相。

其实这种现象在生活中也很常见，比如医院里。当医生遇到一个复杂或者棘手的病例时，通常会组织多学科会诊，请来自不同科室、拥有不同经验的医生一起讨论。这种“集思广益”的方式，往往比某一个专家单独判断更可靠、更全面。

第三个例子是关于一个听起来有点陌生的概念——“稀疏”。很多人第一次听到这个词可能会觉得有点懵，不太清楚它到底是什么意思。

刘老师说，其实在社会中很多看上去特别复杂的现象背后，往往都隐藏着“稀疏”这个特征。比如我们平时常用的快递自提柜，作者就提出了一个问题：如果一个人根本没有快递，只是在那儿反复试着按密码，或者输入取件码时随便乱按，会不会碰巧打开别人的柜子，把东西拿走？

说实话，这个问题我以前在取外卖的时候也偶尔想过，但也就是想一想，没往下深究。

不过这本书的作者真就用数学算了一下。他设想：如果一个自提柜有1000个柜子，每个柜子都需要一个6位数的取件码，那随机输入的话，要试多少次才能打开一个柜子？

答案挺震惊的——就算你每10秒钟输一次密码，也得不吃不喝地连续试上24天，才有10%的概率能碰巧打开一个柜子。作者总结说，用一句话解释就是：这些取件码的分布，就很稀疏。

而这个“稀疏”的原理，其实还广泛应用在其他地方，比如图像压缩。作者还用他女儿的一张照片做了演示：通过只存储图像中很少的一部分基础信息和一个对应的系数，就能在需要时还原出原始图像，这样就能大大节省存储空间。

第四个让我印象深刻的例子，是关于“涌现”。这个词我最早是在得到张江老师的《复杂科学前沿 27 讲》里听说的，但这次在刘老师的书里看到，还是有了不一样的感受。

“涌现”讲的是一种很震撼的自然现象，比如成千上万只鸟在空中飞翔的时候，可以组成各种造型，却几乎不会彼此撞到。又比如巨大的沙丁鱼群游动时，会像龙卷风一样旋转变形，看起来像是被某种神秘力量控制着。

在19世纪，鸟类学家甚至认为这是一种“通灵”现象，说鸟群里可能藏着一个“幽灵”，它在操控每一只鸟，让整个群体有序地运动。

但真正的研究突破，来自1986年的一位计算机科学家——克雷格·雷诺兹。他一开始的动机其实很朴素，只是想让计算机更真实地还原鸟群飞行的样子，绘制飞行图像。但在他之前，程序员要实现这个效果，必须给每一只鸟单独设置运动轨迹，麻烦又不自然。

雷诺兹最后提出了“自组织”的算法。他发现，其实不需要给每一只鸟单独设定路线，只要让它们遵循三条简单的规则，就能自然形成那种复杂而协调的飞行动作。

这三条规则是：第一，避免和附近的其他成员发生碰撞；第二，大致跟周围的鸟保持同样的飞行方向；第三，尽量靠近其他成员，别掉队。

就这么三条看起来很简单的规则，不需要每只鸟具备什么高级智能，只要它能感知到自己周围的局部环境，整个鸟群就能展现出像“编舞”一样流畅、复杂的群体行为。

这种由个体之间简单互动规则，最终导致整体系统呈现出“高级现象”的过程，在学术界就叫作“涌现”。

当然，除了这些案例之外，书里还用特别生动的例子讲了正反馈和负反馈，也讲了什么是好的学习和好的设计。比如在讲“好的设计”那一章里，有个我印象很深的案例，说的是高铁取票时经常有人忘记拿回身份证。后来，设计师通过一个非常巧妙、但成本极低的设计细节，就把这个问题解决了。

这些案例，不仅仅是在讲数学概念，还是更是在提醒我们，其实生活中到处都是值得深入思考的知识点，只是很多时候我们早已经习以为常，反而忽略了它们的存在。

虽然这本书是围绕“数学”来写的，但它一点都不枯燥，几乎没有复杂的公式，也没有高高在上的说教。读的过程中，我甚至一度在想：如果刘雪峰老师不是大学的数学教授，而是中小学的数学老师，那该多好。

因为真的有太多孩子，就是在刚开始接触数学时，遇到了过于死板的教学方式，久而久之就产生了“我不行”“我害怕数学”的情绪。甚至前阵子我还看到新闻，说现在有些医院里已经专门设立了“数学门诊”来应对孩子对数学的焦虑。

如果能像这本书一样，把数学背后的逻辑和乐趣通过生活化的方式呈现出来，谁还会担心孩子对数学没兴趣呢？

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好，今天广播就到这里。如果你觉得有帮助，欢迎分享转发给你的朋友。明天咱们接着聊AI。

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