## 《规模》4:为什么城市越大越好

今天咱们继续说韦斯特的《规模》这本书。这本书的主题是讲一个数学的硬道理：尺度决定了一个组织的最关键限制。比如我们上周讲了生物体的尺度分析，就是体重几乎决定了一切，包括寿命 —— 而一个生物物种有多聪明、多么爱锻炼，都只能起到微调的作用。

今天我们要把这个分析方法使用在城市上。城市，也是规模几乎决定一切。大城市和小城市很不一样。

前面我们讲到，生物体有两个关键的标度率：能耗和体重的3/4次方成正比，而力量和体重的2/3次方成正比。这两个都是次线性关系，也就是说，生物体重越重，它的单位能耗和单位力量都会越小。

对养猪吃肉来说这是一个好消息，这意味着猪越大，就越省粮食！可是如果你想让这个动物干活，这不是一个好消息，因为动物越大，它的相对力量反而更小，最后可能根本都撑不住自己的身体了。说白了就是如果养猪吃肉，猪越大越好；但如果是养马拉货，那养一匹肥马，还不如养两匹瘦马。次线性关系就是这样的 —— 并不总是越大越好。

但是城市，可就不一样了。

我们直观地感觉大城市和小城市很不一样，比如大城市更拥挤、创新能力更强、可是污染和犯罪也更严重。小城市是宁静的，生活节奏慢，好像很舒服 —— 但是创新能力似乎不行，好的工作机会太少，以至于年轻人还是愿意往大城市跑。那这到底为什么呢？难道是因为城市管理水平的问题吗？其实是尺度问题。

大城市之所以有大城市的各种特点，就是因为大城市足够……大。

以前人们很少研究城市的尺度，连最起码的定量分析都很少。各种所谓城市专家，无非就是论证一下这个城市的道路规划是不是合理，工业区应该放哪、居民区应该放哪之类。

现在人们有了关于各种丰富的城市数据，城市的标度率才浮出水面。

比如下面这张图，是法国、德国、荷兰和西班牙这四个国家的很多很多个城市的人口数量和它们各自加油站的个数之间的关系 ——

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人口越多，加油站就越多 —— 但是加油站的增长比人口慢。这四个对数图基本上表现了同一个比例关系：加油站数，和人口数的0.85次方成正比。

这是一个“次线性”关系，意味着城市规模越大，人口越多，人均所需要的加油站数就越少。这使我们想起了生物的新陈代谢率，我们记得，代谢率是和生物体重的3/4次方成正比。生物的“3/4”是来自血管的分形结构，那城市的这个“0.85”，又是怎么来的呢？

还不仅仅是加油站。更多的研究表明，城市的道路总长度、水电和煤气管道总长度，也和人口的0.85次方成正比。总而言之，我们可以说 ——

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这是一个好消息，意味着大城市比小城市更节省基础设施！而更好的消息是，城市的产出和规模是个超线性关系。

下面这几张图表现了各个城市的经济总量、专利数量和专业人才数量与人口的关系 ——

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它们也表现为相当整齐的标度率，但是这个幂率可就不是0.85了，而是1.15 ——

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这意味着城市产出的增长比城市规模的扩张快。

咱们打个比方。把一千万人口的大都市和十万人口的小城对比，人口规模是扩大了100倍。考虑到100的0.85次方等于50，100的1.15次方等于200，那么这两个标度率就是说 ——

城市人口规模扩大100倍，基础设施只需要扩大50倍，而城市的产出，却扩大了200倍。

所以说城市越大越好。如果让物理学家当总理，他的战略肯定是尽可能地发展大城市。让农民进城、让城市变大，是提升经济最快也是最环保的办法。

那现在问题来了，这个0.85和1.15到底是怎么来的呢？

韦斯特在书中对城市的两个标度率只给了泛泛的解释。简单地说就是城市产出是由社交网络决定的，而城市的基础设施则是另一个网络，这两个网络都具有近似分形的结构，两个网络互相制约，形成了两个标度率。

我对他书里这个解释不太满意。韦斯特完全没有推导为什么会是0.85和1.15这两个数字，甚至没有直观地解释为什么一个是次线性关系一个是超线性关系。

韦斯特在圣达菲研究所有个同事叫贝当古（L. M. Bettencourt），2013年在《科学》杂志发表一篇论文 [1]，解释了这两个标度率。我花了点功夫仔细研读了这篇论文，现在根据这篇论文，给你梳理一下两个标度率的逻辑。下面的分析稍微有一点技术化，但是值得我们钻研。

首先，什么叫城市呢？所谓城市，就是住在这里的任何两个人之间都能发生容易的连接。比如我开一家饭店，你是跟我在一个城市的人，那就意味着你上午听说我这个饭店好，晚上就能来吃。你在家点外卖，我肯定有办法给你送去。这就叫“同城”。城市越大，这就越不容易做到。城市的连接成本，假设交通路线非常非常方便，就是跟城市的大小，也就是城市面积的平方根成正比。用 L 表示长度，A 表示面积，那么平均每个人的连接成本正比于 L，也就正比于 A 的1/2次方。

其次，产出是从哪里来的呢？是从人和人的连接中来。我饭店的菜好还不行，得能卖给你，才叫产出。专业人才不是只要有人口就能长出来的，得有学校培养、有公司用才行。专利不是个人闭门造车的结果，是几个人互相启发产生的网络效应。

同样开一家饭店，人口密度越大我的收益就越高。我们可以想象，城市里每个人的基础收益，是跟城市的人口密度成正比。我们设定 N 代表城市总人口，那么人口密度 n = N/A。

好，现在人均成本正比于 A 的1/2次方，人均基础收益正比于 N/A，而要想让城市能维持下去，就要求成本等于基础收益，所以 A 的1/2次方正比于 N/A，于是我们得到

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也就是说，理想城市的面积是跟人口总数的 2/3 次方成正比。这个结论非常关键，它说明越大的城市反而越拥挤 —— 当然从另一方面你也可以说越大的城市反而越节省土地。

然后我们再看基础设施。城市里两个人之间的平均距离 d，应该等于平均面积的平方根，也就是 d 正比于 (A/N) 的1/2 次方。那么如果这个城市的基础设施搞得好，人均拥有的道路长度，应该就是两个人之间的平均距离。这样一来，城市道路的总长度，应该 Nd，正比于(AN)^(1/2)。再考虑到 A 正比于 N 的2/3次方，我们就得到，

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注意 5/6 = 0.833，所以这就是基础设施那个0.85的标度率的由来。

前面我们说了人均基础收益正比于人口密度，但是贝当古提出，实际上的人均产出，应该由基础设施决定，毕竟各种活动都是在基础设施上发生的。考虑到这一点，平均每人在城市里能遇到的连接数，正比于 N/道路总长度。而产出正比于连接数，所以

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这就是总产出那个 1.15 标度率的由来。

这一切推导的前提，是城市基础设施要达到每一个人，具有“空间填充”的特点 —— 也就是说这个网络得具备一定的分形结构。有些不发达国家的城市基础设施没有这么好，那么标度率的数值也会有所不同。

我个人感觉贝当古这一套推导有点牵强，简直就好像是知道答案以后故意凑数一样。贝当古自己在论文里也说，城市面积正比于人口的2/3次方这个数值跟实际城市统计的对比结果并不是很好 —— 实际幂率在 0.56 到 1.04 之间。可是从这个公式出发推导出来的5/6和7/6这两个幂率，却和实际结果吻合的很好。

可能也是因为这个原因，韦斯特老爷子并没有宣布物理学家的胜利。他说我们还不能完全解释城市标度率。

即便如此，这些分析也带给我们很大的启示。

为什么城市产出和人口是一个超线性关系？因为产出源自人与人之间的连接。产出不是由人数决定的，而是由连接数决定的。

只要用一点最基本而排列组合知识，你就知道，五个人之间总共有 5×4/2=10 个连接；而六个人之间总共有 6×5/2 = 15个连接 —— 连接数的增长，大大快于人数的增长。

人口密度越大，每个人所能轻易达到的连接就越多，城市总连接就会更多。你要开个电话公司，必须首选人口密度大的地区。而其实一切生意都是这样的。这就是人口的规模优势，这就是为什么中国市场这么大，这就是为什么一旦开启城市化，中国的发展就突飞猛进。

为什么城市基础设施和人口是一个次线性关系？因为城市把人聚集在一起，人的密度大，人均面积小，道路的利用率就高。让分散居住的几个村子的农民进城住在一起，其实更节省资源，也更环保。

当然，城市产出不仅仅包括财富和创新，也包括犯罪和疾病。城市越大，犯罪率和传染病率也越高。而理解了标度率，你就知道这其实是不可避免的、是规模带来的副产品。

具体到每个国家，可能城市标度率的具体数值有所变化，但是超线性和次线性这两个关系都还是成立的。不过国家和国家毕竟有所不同。比如说，美国的创新能力比日本强，而日本的犯罪率比美国低，所以把纽约和名古屋放在一起对比似乎意义不大。但是在各个国家之中，因为文化和治理方式类似，城市标度率非常一致。

更有意思的是，哪怕一个城市开始规划的不好，非常不符合标度率，等到几十年以后，更多的人住进来慢慢改造，城市还是会符合标度率。韦斯特说这就好像城市规划并不怎么重要 —— 因为城市是活的，它终将成长为合理的样子。

所以这就是城市。生物体不能太大，而城市却可以越来越大。公司可以倒闭，而城市却总能重生。政府可以犯错误，城市却终将符合标度率。

把大都市和故乡的小城镇对比，我们关于城市的一切感叹，都跟标度率有关。关于这些感叹，明天还有一讲。

“产出源自人与人之间的连接。产出不是由人数决定的，而是由连接数决定的。”请你想一想，在身边有没有这样的例子？在哪里验证过这个道理呢？欢迎你把你的想法写在留言区。

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### 💡 精华要点
- 1. 城市人口规模扩大100倍，基础设施只需要扩大50倍，而城市的产出，却扩大了200倍。
- 2. 生物体不能太大，而城市却可以越来越大。公司可以倒闭，而城市却总能重生。政府可以犯错误，城市却终将符合标度率。

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