## 《规模》2:身体里的分形

今天咱们继续说韦斯特的《规模》这本书。这一讲的难度有点大，我们要了解有关生物体的尺度分析。这是韦斯特本人非常得意的一个成果，而理解了这个成果，你就能继续理解生物的生长和衰老，乃至于后面要讲的公司和城市的规模问题。

据说数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）在证明了费马大定理之后，跟人说如果他要去一个荒岛住几天，他可以什么都不带，只带上自己那份证明 —— 因为费马大定理的证明里面包含了很多现代数学的漂亮思想，适合经常拿出来欣赏把玩。我们今天要说的韦斯特的成果，也有点这个意思。你要是理解了，没事儿琢磨琢磨，是一种精神享受。

但是一个通俗专栏不可能把其中所有生物学和数学的细节在一期节目里讲清楚，我们只能大概地了解一下其中的逻辑。我们默认你是外行，但你是一个“聪明的”外行，这样你就好像球迷看球一样，也能领略一点门道。

而且我们还有一项高级任务。有个特别流行的数学概念叫“分形” —— 而今天，我们要学习怎么量化计算分形的“维度”。

生物学里有个概念叫“基础代谢率”，意思是维持一个生命体所需的最低能量消耗。比如说一个人，他一天除了吃饭什么都不做，把能量消耗降到最低，那么他要维持生命，需要摄入的食物热量，大概是2000卡路里，这就是人的基础代谢率。这个能耗相当低，也就相当于一个90瓦的灯泡。

生物学家考察了不同大小的各种生物，发现它们的基础代谢率基本上只和体重有关。第一个把这件事做系统研究的是生理学家马克思·克莱博（Max kleiber），他在1932年发了一篇论文，发现生物的基础代谢率，和体重的3/4次方成正比。

后人又陆续调查了各种生物的基础代谢率，从最小的单细胞生物和细菌，到最大的大象和鲸鱼，身体大小横跨27个数量级 —— 也就是说其中最大的生物的体重是最小生物的10^27倍 —— 结果，它们都满足这个 k=3/4 的标度率。

下面这张图，是其中一部分结果 ——

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我们看在对数坐标图上，各种动物大致排成一条直线。这条直线的斜率是3/4：基础代谢率正比于体重的3/4次方。

大象体重是老鼠的一万倍，而大象的基础代谢率只有老鼠的一千倍。说白了，就是体重轻的动物吃很多东西但是不长肉；体重重的动物，它单位体重的能耗，反而更低。

后来生物学家又发现了好几十个类似的标度率，比如说 ——

* 脑容量跟体重的3/4次方成正比 —— 体重越重，脑子越大，但是体重长得比脑子快；

* 心率跟体重的 -1/4次方成正比 —— 体重越重，心率越慢；

* 寿命跟体重的1/4次方成正比 —— 体重越重，寿命越高……

等等。总而言之就是什么都是体重决定的（幸好智商不*完全*是体重决定的），你只要告诉科学家这种动物的典型体重是多少，韦斯特就能告诉你它的生长速度、寿命、各种速度大概是多少。

所以你要幻想一个什么怪兽不能随便幻想。冥冥之中，生物界有这么一些定数。

但是问题来了。3/4也好，1/4也好，这些数字都是怎么来的呢？为什么分母都有一个“4”呢？多年以来，生物学家只是通过统计方法得知有这些标度率，但是没有人知道为什么会是这样。

结果是物理学家韦斯特出手，跟两个生物学家合作，把这个问题解决了。

其实前面说的各种指标互相之间都有联系，所以你只要能解释其中一个4，你就解释了所有的4。那这一个4是从哪来的呢？

我们上一讲中用到了很多 k=2/3 的标度率，其中那个3是怎么来的很清楚 —— 因为空间是3维的、体积是长度的立方，对吧？那生物体的标度率既然有个4，是不是说，生物体之中，有什么东西是4维的呢？

没错，3维空间中，也会有4维的东西！这就是分形。

作为科学爱好者，你肯定早就听说过“分形”了。简单地说，分形结构，就是你把这个东西的局部放大，发现它和它的整体很相似，再找个局部再放大，又跟刚才很相似，可以这么一直下去，也就是“自相似”。像海岸线、树杈、树叶都具有分形的特点。下面是一片叶子 ——

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从中选择一个局部（红框）放大，也像是一片叶子。再来看一个抽象但是严格的分形 ——

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这条想象中的曲线任何一部分都是一样的形状，不管你怎么放大都可以。这个曲线叫做“科赫曲线（Koch curve）”，它的生成方法下面这样的 ——

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先取一条直线，把它三等分，然后在中间的线段向外突出一个三角形。然后再对新的每一条边做这个操作，以此类推，以至于无穷。

好，这就是最基本的分形概念。现在我们要做的是测量分形的“维度”。为此，咱们先看看“正常”形状的维度是怎么算的。

看下面这个示意图。把一条线段2等分，你就得到两条线段。把一个正方形的边2等分，你就得到4个正方形。把一个立方体的边2等分，你就得到8个立方体。其中的4和8，分别是2的2次方和2的3次方。—— 这个“2次”和“3次”，就是正方形和立方体的“维度”。

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现在咱们把这个概念推广一下。以此类推，如果你把一个东西的边，分成 r 等分，你就得到了 N 个小东西，然后

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那么这个 D，就是维度。正方形，D=2，说明是2维的；立方体，D=3，是3维的。那反过来，取个对数，我们也可以说

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这就是计算任何图形的维度的公式。那咱们来算算前面那个科赫曲线的维度是多少。注意，这不是一条平常的曲线，这是一条想象中的、细节无限可分的曲线。

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按照最基本长度的1/3为一段分段，横向分3段的话，这条曲线的长度是4段，相当于上图中第二条曲线。按照1/9的长度分段9段，曲线的长度是16段，以此类推。也就是说，r=3, 则 N=4；r=9，则 N =16，……注意 r 和 N 的变化是这么一直以乘方的形式变，而取对数再做除法，所有的乘方就都被消除了，所以维度永远都是

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这就是分形特殊的数学性质！一般的线都是1维的。科赫曲线明明是一条线，但因为它是一条特殊的、中间有无限细节的线，它居然不是1维，而是1.26维！

这个结果就是说，分形，可以增加维度 —— 出现了分数维，所以才叫“分”形。

好，那我们再看一个更特殊的情况。把科赫曲线中那个三角形的夹角无限地缩小，以至于变成中间突出的一条线段，这么一直分形下去是什么结果呢？是下面第四个图的样子 ——

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这条特殊的科赫曲线布满了它所在区域范围内的整个平面！相应的维度 = 2。也就是说，它已经不再是“线”了，它已经变成了一个“面”！

当你把一条线铺满整个平面的时候，它就多出来了整整一个维度。这是今天分形告诉我们的最重要消息。

韦斯特的关键思想，就是生物体内的能量输送网络 —— 对哺乳动物来说是血管、对植物来说是叶脉、等等 —— 是个分形结构。

具体细节就不讲了，我大致总结一下韦斯特和合作者的思路。首先，不管是多大的哺乳动物，它的血管都必须满足以下这三个条件 ——

第一，血管要填充身体内的每个地方。这是因为每个细胞都需要氧气和血液。从心脏出来是很粗的主动脉，到终端，则是遍布全身的毛细血管。

第二，不管是多大的动物，终端毛细血管的尺寸都几乎是一样大的。这是因为不同生物体的细胞是差不多同样大的。这就好比说城市不管多大、你家住的楼不管多高，进入你家的网络终端的插座，都是一样大的。

第三，血管在身体中的布局，应该已经是最优化的。这是进化的功劳。每个动物的血管都既要给全身充分供血，又不能扭来扭去走很多弯路，得让心脏用最小的动能，就能把血液输送到每个毛细血管终端。

你看着三个条件，表面上说的是血管，其实全都是数学，你可以把它想象成任何一个遍布系统的管道，原理是通用的。

好，根据这三个限制，我们就可以推导出血管的一些性质。

一个性质是每当血管要分叉、也就是一分为二的时候，两根支线血管的横截面积之和要正好等于干线血管的面积。这是因为如果不相等，血液流动就会有反弹力，就有能量损失，就不是最优化了。不仅仅是血管，植物的茎、树干也是这样，而且这个现象连达·芬奇居然都观察到了。

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如果每次分叉时两个支线血管是一样大的，干线血管的半径应该就是支线的√2倍。

不过对毛细血管来说，因为已经感觉不到心脏跳动的波动，出于某个流体力学的原因，主干毛细血管的半径是分支毛细血管半径的2^(1/3)倍。

第二个性质是为了让血管铺满整个身体，每次分叉的时候，支线的长度要越来越短 —— 干线的长度是支线长度的√2倍，这也是数学优化的结果。

根据前面这两个性质，特别考虑毛细血管，再考虑到血液总量应该和体重成正比，整个标度率就可以推导出来了。具体的计算细节韦斯特没在书里写咱们也不用管，因为韦斯特还有一个更直观的解释。

考虑到前面两个性质，血管其实是一个分形结构。每一次分叉，干线血管看支线血管，就好像下一次分叉时这个支线血管看它的支线血管一样。

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这么一直分形到终端，毛细血管要*布满*全身所有地方。这一布满，就意味着这个分形是整整多出来了一个维度 —— 和前面我们说的那条布满平面的线一样。原本3维的血管，因为分形结构，实际上相当于是4维的了。

血管分形结构的维度是4。4就是这么来的。

如果忽略所有细节，今天的内容你只需要记住两点：

1. 生物体有各种标度率，而这些标度率的指数都有一个分母4。

2. 这些标度率，是因为生物体内输送能量的管道网络，比如说血管，是个分形结构。

我们经常说这个是分形、那个是分形，很少有人问自然界的分形结构都是怎么产生的 —— 连分形理论的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）似乎都不关心 —— 人们好像只是在欣赏分形图案。韦斯特这个理论，才算是找到了产生分形的一个机制，而且还让分形数学有了具体的应用！

有了这些知识，我们就可以进一步了解人的生长和寿命限制了。

### 💡 精华要点
- 1. 分形结构，就是你把这个东西的局部放大，发现它和它的整体很相似，再找个局部再放大，又跟刚才很相似，可以这么一直下去，也就是“自相似”。
- 2. 生物体内的能量输送网络——对哺乳动物来说是血管、对植物来说是叶脉——是个分形结构。

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