## 《多样性红利》2:难题的“视角”

今天咱们继续讲斯科特·佩奇的《多样性红利》这本书。

要掌握这本书的精髓，可能对大部分读者是个挑战。前面我们说了，多样性的红利，只有用在难题上才有意义。佩奇在书中使用了很多数学题作为例子，这些题有点像是“奥数” —— 它们并不需要用到什么微积分之类高等数学的知识，但是需要你动脑。我们这一讲的最后也会有一个这样的难题。

你可能会说，我想得到的是思想，我对求解数学题不感兴趣 —— 有道理，但是如果你从来都不敢面对任何难题，那你学习这些高级思想也没用。

鉴于现在很多人对“奥数”有误解，请允许我借此机会做几句辩解。“数学奥林匹克”并不是一个专门跟孩子作对的、用偏题和怪题扭曲性格的项目，更不是脑筋急转弯。数学竞赛题里有精妙的技巧，更有深刻的思想，能让你体会到数学的正宗趣味。寻常的课堂知识都有死记硬背的成分，唯有奥数，是较量“解题”这个硬功夫。

我小时候幸运地接受过一点奥数训练，长大以后就从来没觉得有哪本书、哪个技术、或者哪件事难到高不可攀。解题，是最值得你苦练的功夫。

当然解题不一定是解奥数题，任何难题都可以。我们这几讲专门研究怎么解决难题。佩奇总结了一套“多样性认知工具箱”，其中包括“视角”、“启发式”、“解释”和“预测模型”四种工具，我们今天说“视角”。

什么是视角呢？佩奇给的精确定义是，“视角是从现实到内部语言的映射”。这个说法非常晦涩，咱们还是换个更透彻的说法。

以我之见，所谓视角，就是你*怎么看*这个东西，你把这个东西*看成什么*。

我举个例子。比如这里有一大堆鱼，其中各种各样什么样的鱼都有，请问你怎么看这些鱼。一个外行看这些鱼，可能会看到有的鱼大有的鱼小，或者看到有的是死的有的是活的。渔民看这些鱼，可能考虑它们的巡游地点，思考这些鱼是怎么捕捞来的。市场上卖鱼的人看，他想的是哪个鱼贵哪个鱼便宜。而在你看来，可能想的就是哪个好吃哪个不好吃。

这些不同的看“法”，就是视角。

我们以前讲过佛学里的“色即是空”，我们知道每个人看世界都带着一副有色眼镜 —— 有色眼镜就是视角。我们还讲过“丑小鸭定理”，我们知道每个视角都是主观的。但是我们以前都是从“哲学的视角”说视角，今天我们要从“解题的视角”说视角。

佩奇有三个洞见。

佩奇的第一个洞见是，视角的选择，对解题的难易，关系重大。

比如我们在高中数学课学过“直角坐标（也叫笛卡尔坐标）”和“极坐标”，这两种坐标系就是两个视角。这两个坐标系完全可以一一对应地转化 —— 但是，选对了坐标系，你解题就会简单得多。要描写一个正方形的顶点，直角坐标非常方便；而要描写一段圆弧，那就最适合用极坐标。

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生活中也是这样。要描写一个复杂的地形，你最好画张图；而要叙述一个复杂的道理，画图有时候就不如文字方便。从哲学上说所有视角都是平等的，但是从解题上说，视角跟视角可太不一样了。

佩奇的第二个洞见是，要想有利于解题，你这个视角最好自带某种结构。

比如说“能按照数字排序”，就是一种结构。在门捷列夫发明元素周期表之前，很多人都尝试过把各种元素分类。你可以考虑按照元素的某一种化学性质分类、按照颜色分类、甚至按照产地分类，这些都有道理，但是没有科学结构。门捷列夫考虑到“原子量” —— 确切地说是质子的个数 —— 这个视角，它就自带一个结构：它允许你把元素按照质子数排序。

有了结构，你看东西就不再是杂乱无章的一堆，你就有了章法。数学上的坐标系，就是一个结构化的视角。

现在咱们先举个例子，用一下佩奇的这两个洞见。

一个冰淇淋公司想要研发一种新口味，他们要在冰淇淋水里面融入一种软糖。这个软糖有四种不同的尺寸，其实成分都一样，他们不知道该用哪种，也不知道该加多少。于是公司组织了一系列的实验，而且提出了一个结构化的视角。他们建立了一张表格，横坐标代表用软糖的数量，纵坐标代表用的是哪个尺寸的软糖 ——

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比如图中（2,3）这一点，就代表“用两打直径是三厘米的软糖”这个配方。这样所有配方都排列在了这张表格上。公司选取了几个点进行测试，发现（2,3）这个配方似乎不错。

这显然是个笨办法。我们刚才都说了，每种尺寸的软糖的成分其实都是一样的，最后都要融合在冰淇淋里面，那你直接算个总数不就行了？所以根据佩奇的描述，公司请来一位叫内莉的顾问，内莉提供了一个不同的视角。

内莉建议把不同的配方按照每份冰淇淋的卡路里含量来排列。既然公司已经发现（2,3）是个不错的配方，内莉就测试了（2,3）附近的六种配方。

用内莉的卡路里视角，这六个配方是：

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其中的 252 卡路里就是（2,3）。内莉在附近探索，发现 255 卡路里的味道更好，并且最终确定这个是最佳配方。

按照内莉的视角，我们看到她从252找到255的过程非常自然，就是在好东西的附近找找看有没有更好的东西，对吧？可是你如果使用公司之前的坐标系视角，内莉这个发现可就大大出乎你的预料了。

255 对应的配方坐标是（4,1），它距离（2,3）很远！

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公司肯定会对内莉说，“你怎么就能想到考察那里呢？简直是跳跃式的思维！” —— 殊不知在内莉的视角看来，那是一个最邻近的考虑。

这个公司听起来有点傻，但是这个道理非常清楚。第一，视角选对了，问题就容易解决。第二，视角的内在结构非常重要。

现在咱们说一个高级的例子，看看视角的真正威力。有个游戏是诺贝尔经济学奖得主、计算机科学家赫伯特·西蒙（Herbert Simon）发明的，叫“抢15”。玩法是在桌子上摆上从1到9九张牌，两人轮流取牌，谁先拿到相加等于15的三张牌就获胜。

比如如果对方手里已经有2和9，而你有1和7，现在该你走，你一定要拿4，否则下一把对方拿4就赢了。你可以尝试玩一下这个游戏，既要顾着自己又要盯着对方，相当复杂。

可是如果你换个视角，游戏就会变得非常简单！你只要把这九个数字摆成一个九宫图，如下图所示 ——

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这个图的特点是任意一条横、竖和对角线上三个数字相加都是15。数学上管这种图叫“幻方”。抢15的游戏就相当于在幻方上画圈占地，而你要做的，就是设法让自己占的三个格子连成直线，同时避免让对方连成。

而这不就是小孩玩的“井字棋”游戏吗！

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我陪我儿子都玩过很多次井字棋，你来我往有攻有守，直观明了。只要双方都足够警觉，井字棋游戏的结果应该是谁都不输不赢。我儿子从来没在井字棋上犯过错，但是你要让他计算抢15，可就难多了。

同样是一堆数字，你的视角要是计算加减法，那就很麻烦；可是你换个视角改成连线题，就变得一目了然。那是不是对所有的难题，都能找到这样让人茅塞顿开的视角呢？

这就是佩奇说的第三个洞见：对任何一个问题，都存在一个能让答案一目了然、脱颖而出的视角。

这句话可不是随便说的，佩奇为此专门提出和证明了一个数学定理，叫“学者存在性定理（Savant Existance Theroem）”。

这句话说着容易，但是真要找到那个视角，可是非常困难。事实上，如果你仔细考虑佩奇对“视角”的定义 —— 凡是能把一堆东西跟你随意定义的某个内部语言对应起来的关系，都是视角 —— 那么有些视角很可能无法用直觉获得，以至于对解题没什么帮助。

比如书中有个例子是这样的。佩奇从他的家乡随便找了14个房子，它们的面积有大有小，价格有低有高。那到底是什么因素，决定了房子的价格呢？

面积似乎是个不错的视角。我们把这些房子按照面积从小到大排列，并且从1到14编号。在下面的图中，横坐标是房子的面积编号，纵坐标是价格 ——

![图片](https://piccdn3.umiwi.com/img/201809/03/201809032038276304031259.jpg)

总的趋势，的确是面积越大的房子价格越高。但是从严格的数学意义上讲，佩奇说，面积不是一个完美的视角。比如2号房子，它的面积明明比3号房子小，但是价格却更贵；5号房子的面积算是不错了，但是价格却是所有房子里最低的。

佩奇说，面积这个视角的问题在于，图中除了14号房子这个全局最高峰之外，还有好几个“局部高峰”。站在局部，你还以为那些房子价格最高，而事实上根本不是这样。完美的视角应该让这张图中只有一个高峰 —— 在边上也好在中间也行 —— 总之你看到的高峰就是全局高峰，就好像富士山一样，答案一目了然才好。

把房子按照房价编号为1到14，然后我们只要找到这么一种给房子排序的方式，让14左边的数字都是一直增加，14右边的数字都是一直减少，比如排成 1、4、5、6、9、11、14、13、12、10、8、7、3、2，就是一个满足富士山条件的“单峰景观”。如果你把这个排列当做一个视角，那这就是一个解决问题的完美视角。

可问题是，这个视角到底代表啥呢？是地段吗？是房子的新旧程度吗？很可能都不是。所以以我之见，完美视角虽然必定存在，但是未必对咱们解题有用，因为你事先想不到。

但是佩奇说，“学者存在定理”给了我们希望。一道难题摆在面前，可能当前谁都不知道怎么解决，但是你要相信，总有一个视角，会让答案看上去那么简单，能够脱颖而出。

这就好像以前的人认为光非常神秘，而牛顿一旦有了“光是不同颜色的混合”这个视角，光就不再神秘了。以前的人觉得天体运行非常复杂，而牛顿一旦有了引力这个视角，他就能精准计算行星轨道。

视角，决定了问题的难度。

你是否曾经尝试过使用不同的视角去攻克一个难题呢？那是美妙的体验！

### 💡 精华要点
- 佩奇关于“视角”的三个洞见：
- 1.视角的选择，对解题的难易，关系重大。
- 2.要想有利于解题，你这个视角最好自带某种结构。
- 3.对任何一个问题，都存在一个能让答案一目了然、脱颖而出的视角。

![图片](https://piccdn3.umiwi.com/img/201809/03/201809032038572083337648.jpg)
