## 数学题：为什么绝大多数投资者都会输给市场

今天咱们来思考一个数学问题。这个数学问题有助于我们理解一个看似有点反常识的道理，那就是为什么绝大多数投资者都会输给市场。

如果你去考察华尔街那些金融机构，什么各种基金，也包括所有的个人投资者，你看他们一年下来的投资成绩，其中绝大多数，都不如标准普尔指数的增长。投资界公认，打败标准普尔指数非常非常难。哪个公司打败了标准普尔，那绝对是值得吹嘘的成就。

可是你想想，这好像不对啊？标准普尔指数是从股市中选出500只股票的平均增长，它代表的只是一个平均水平。比平均成绩好，怎么会这么难呢？

今天我们要说的就是这个道理。这个道理正好和咱们前几天讲塔勒布的《利益攸关》里面一个概念叫“遍历性”，的本质上是一样的。

我要用的例子是来自一本叫《一个数学家玩转股票市场》（A Mathematician Plays The Stock Market）的书，作者约翰·保罗士（John Paulos）是一位数学家。你要想理解股票市场是怎么回事，建议好好读读这本书 —— 数学家的见识绝对比那些学金融的深刻。但是你要想在股市上赚钱，这本书可能没什么帮助 —— 事实上保罗士是因为在股市上赔了很多钱，痛定思痛，才写了这本书。我觉得这本书很适合劝人不要炒股。

保罗士编了一道数学题。

我们知道，新股刚上市的时候，股价波动往往很大。咱们干脆假设，任何一只股票 IPO 第一周，股价都是或者上涨80%，或者下跌60%，可能性各占一半。

涨幅比跌幅大，机会啊。

那我们能不能搞一个投资策略，每个星期一都买一只 IPO 的股票 ，然后在星期五把它卖了。我的资金有一半的可能性会上涨80%，有一半的可能性会下跌60%，平均下来，数学期望是赚10%，对吧？那如果我每周都赚10%的话，一年下来利滚利，那就是1.1的52次方 —— 如果我投入了1万元，到年底我会有142万元。

这142万元，就是市场的平均回报。但是这可不是你最有可能拿到的回报。

你最有可能拿到的回报是什么呢？假设你总共有1万元，你每周一把钱全投进去买 IPO 的股票，周五再把股票全部卖掉，下周一再把钱全投进去。如果你这么做，最有可能的结果是52个星期下来，你还剩下1.95元。

咱们算算。你最可能面对的结果是在50%的时间里，你的资金增长80%，在另外50%的时间里，你的资金下跌60%。你的资金要乘以1.8倍26次，乘以0.4倍26次，结果就是你平均每两周亏28%，一年后一万元就变成了1.95元。

那么问题来了，前面那个142万元的平均收入又是从哪来的呢？这其实是假设有很多很多个投资者都在市场里使用这个策略买卖股票。其中有的人比较幸运，遇到很多个周期都是增长80%，很少的周期是下跌60%。而那些不幸的人则是很多周期下跌60%，在很少的周期上涨80%。

其中最幸运的那个人，是连续52周里全都是上涨80%，他的收入就是1万乘以1.8的52次方，等于1.88×10^13万。而最不幸运的人，也不过就是把钱赔光了，并不会出现一个负数。把幸运者和不幸者都加在一起，取个平均数，结果就是每个人赚了142万元。

说的再明白一点，我们干脆考虑一个只有四个投资者、总共玩了两周的情况。从概率平等角度，其中会有一个人在两周内都是增长80%，那么他的1万元就变成了32400元。有一个人在第一周涨，第二周跌，还会有一个人是第一周跌，第二周涨，这两个人代表了多数，代表了*最可能*的结果，就是1.8×0.4，1万元变成7200元。然后还有一个不幸的人，两周内都下跌，也就是0.4×0.4，他的1万元变成了1600元。

这四个人的收入分别是32400元、7200元、7200元和1600元。四人的平均值是12100元，正好是1万元1.1×1.1。而四人的*最可能结果*，则是中间的这两个7200元。最可能值，远远小于平均值。

如果你的初等数学还很熟，你会立即注意到，所谓最可能结果，其实就是用1.8和0.4这两个数的“几何平均值”算出来的；而所谓“市场平均结果”，则是用1.8和0.4的算术平均值算出来的。而数学告诉我们，几何平均值总是小于算术平均值。

这就是为什么个人的最大可能性是打不过市场。我们为了突出说明问题，用了一组极端的数字，但“几何平均值总是小于算术平均值”这个性质对所有数字都是适用的。换一组数字你不一定赔钱，但你还是无法打败市场。

这也是塔勒布说的“这个系统没有遍历性”。一群人做一件事取得的平均值，和一个人经历这件事很多很多次，是不一样的。

我再换个说法你就更容易理解了。市场上特别幸运的人，会获得巨额的收入，他们强烈地拉高平均值。而特别不幸运的人和中等幸运的人的表现其实差不多 —— 最多也就是账户清零而已，并不会强烈地拉低平均值。那么结果就是平均值受到了少数幸运者的强烈影响。

股票也有幸运的和不幸运的。标准普尔指数有500只股票，是广撒网，其中一定会网罗到少数幸运的股票，是这些幸运股票使得标准普尔指数偏高。普通投资者一会儿买幸运股票一会儿买不幸运股票，就算各占一半，因为你是几何平均值，你就不如标准普尔手里永远握有幸运股票。

现在总结一下，买股票一共有三种方法，以我们今天这个设定为例 ——

1. 总共只有1万元资金，每次都全部投入买一只股票。运气特别好的话可以挣很多很多钱，但最可能结局是几何平均值，变成1.95元。

2. 总共有52万元资金，每周投入1万元买股票，周末卖出。结果是一年下来有10%的利润，变成57.2万元。

3. 如果资金和时间充裕到可以不顾交易成本，去买市场所有的股票，那么就按照市场算数平均值滚雪球，一年下来变成140倍。

当然因为我们设定了80%和60%这两个大数字，这个结果显得比较夸张，但意思是这个意思。第一种是个人常见的投资方法。第二种是小打小闹。第三种，是大盘指数。

生活中其实也是这样。北京市的平均收入一公布，就有很多人表示自己给北京拖后腿了 —— 绝大多数人的收入都是在平均水平之下。这完全符合数学，根本原因就是收入特别高的人贡献太大了。

如果北京市政府允许市民放弃工作自主权，选择领取全市平均工资，我想大多数人都会乐意的。而在股市上，就真的有这么好的事儿，那就是别自己胡乱选股了，老老实实买指数基金。这恰恰是巴菲特最爱给人提的炒股建议。

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