## 问答：数学王国的“最最终极理论”

> 读者 斌仔、KARL、晓添才、邓 然。、苏昊源：
> 如果真有这样一个终极理论，那么如果我们把它给找出来，人类是不是就变成无所不知、无所不能呢？可不可能存在一不符合数学的世界，比如艺术家创作就是不符合数学的？

> 万维钢

掌握终极理论并不等于无所不知无所不能。终极理论是这个世界最底层的知识，但知识有很多层。

这就好比说，计算机是人发明的，编程语言都是人设计的，所以人已经有了关于当前的这些计算机和编程的“终极理论”。可是下一个应用软件，还是得等着程序员们去慢慢开发。掌握全部的生物学也不一定能解决所有心理学问题，掌握全部心理学也不能解决社会学问题，因为不同层面有不同的知识。

心理学家有时候也用一点数学，比如统计数学 —— 但这是对这个层面知识的一种近似描述，这种近似不准确，不等于说底层数学不对。所以艺术家创作不是“不符合数学”，而是不符合“简单近似的高层数学”而已。

再打个比方，物理学家探索终极理论就好像是猴子看人下围棋。最初，猴子以为人们只是在棋盘上胡乱摆子。看的时间长了，猴子看出来一些下棋的规律，比如说双方交替落子、一开局通常先占据角和边之类。再往后，猴子还意识到了“气”这个概念，它发现一个严格的规则：没有“气”的棋子会被拿掉。

老猴子临死之前，给小猴子留下一份《围棋力学》，上面记载了前辈的猴子对围棋规律的总结。这本书很厚，列举了各种规律和一些违反规律的特殊情况 —— 比如有一次，猴子看到一个人居然一上来就落子在棋盘正中间，居然也没事。这本书猜测，围棋一定有一些更底层的规则，是我们猴子暂时不理解的。

小猴子用这本书，甚至有时候能预测某些棋局下一步的走法，可是他仍然觉得自己并不理解围棋。

一代又一代的猴子不断地观察和总结，终于有一天，他们找到了围棋的终极规则！原来围棋规则是如此的简单，一张纸就写的下！

这无疑是猴子围棋学家的伟大胜利 —— 但这并不意味着猴子们就成了围棋之神：懂围棋规则只是第一步，下好围棋、甚至真正看懂高手的围棋，都还远着呢。

> 读者 wkt：
> 我看了一些介绍相对论小册子，感觉相对论跟几何好像，用公理推出其他结论！但是相对论的“公理”太难让人理解。光速不变这是实验的结果，没有说为什么不变，反而说因为光速不变而且最快的速度，所以光速可以衡量一切！然后开始推导出一些结论。为什么光速不变能成为公理呢？难道就是因为把它设为“公理”才可以计算出符合观测数据的结论？

> 万维钢

狭义相对论并不仅仅是实验观测的结果，它更是数学的伟大胜利。

当时情况是麦克斯韦搞了一套电动力学的方程组，这套理论非常厉害，但是在数学是有个重大缺陷：你做一个有速度的坐标变换，这个方程组不具有不变性。这就等于说，一个人在开动的船上做电磁实验，结果居然会跟在“静止不动”的地面上做实验不一样。这太离谱了，物理学家坚信，匀速直线运动和静止不动应该不可区分才对。

为了克服这个*理论上的*困难，爱因斯坦才提出狭义相对论 —— 他的原始论文就叫《论运动物体的电动力学》。狭义相对论用把时间和空间放在一起变换的“洛伦兹变换”取代简单的伽利略坐标变换，一切就都在数学上和谐了。

那为什么非得是光速不变呢？因为光速是电动力学方程的产物！是电动力学方程 + 洛伦兹变换 = 狭义相对论，是数学、数学、数学。

至于说实验物理学家测定光速果然不变，爱因斯坦对此并不至于感到惊喜。

> 读者 肖必材：
> 一直增长，在现实中当然是没有的。但是，短暂的下跌，它还会再涨回来的呀！文章中贴出的指数增长曲线，如果把视野放大，那个下跌不是可以忽略不计吗？

> 读者 Will：
> 在一个成熟市场中，年轻人借贷消费，如果以后也没赚来钱怎么办？背着一身债，很多事都不敢做了怎么办？

> 万维钢

视野要放到多大，下跌才可以忽略不计。凯恩斯有句话说“从长期看来我们都死了。” 攒钱是为了花钱，推迟享乐是为了将来（更好地）享乐。我们关注的是在一段合理的时间范围内，怎么合理分配手里的钱。

如果手里有笔闲钱左右也是没用，那当然不应该坐等通货膨胀，可以搞个“投资” —— 复利就是给这种钱准备的。可是如果明明需要用钱，但是为了一个什么发财梦节衣缩食地去投资，那就除非能在短期内收获比较高的回报才值得做 —— 而“复利”，显然不具备这个条件。

成熟的金融市场里人们就是背着一身债照样敢做事。美国很多人三四十岁才还完大学学费贷款，可是完全不耽误住房和买车。那如果真的出现没赚来钱、还不上债的情况怎么办呢？可以宣布个人破产啊！成熟的市场允许个人破产，免除债务，轻装上阵几年之后又是一条好汉。

所谓成熟的金融市场，就是在允许一定比例的人破产不还钱的情况下，仍然能提供一个比较低的贷款利率的市场。

> 读者 杜林谦：
> 巴菲特是靠技能吃饭呢，还是靠掌握稀缺资源吃饭呢？还是靠运气吃饭？

> 万维钢

巴菲特积累第一桶金的时候正好赶上美国股市高速增长，他首先应该感谢国家，所以主要靠的是运气。

炒股赚钱的人很多，绝大多数人赚了点钱就忘乎所以、过度自信、胡乱的投资和消费，而巴菲特保持了谨慎小心，面对互联网概念大潮都不为所动，结果是别人的钱没保住他的钱保住了，这个阶段可以说主要靠的是技能。

做大以后，巴菲特又有钱又有影响力，他就可以换一种玩法 —— 一种普通股民没有资格玩的玩法，比如说，他可以直接影响一些公司的命运。在这个阶段赚钱，靠的就是稀缺资源了。

所以我觉得我跟巴菲特相比，目前最缺的是运气：）

> 读者 勇闯天涯、Earl Tjan：
> 如果说世界是数学的，哥德尔不完备性定理讲数学的推导与证明是不完备性的，那么终极理论会不会只是又像希尔伯特的幻想一样呢？

> 万维钢

不是！哥德尔不完备性定理是说一个有有限个公理的数学系统*不能独自证明*它的自洽性 _ 但是它可不是说有哪个数学系统是*不自洽*的。是说从“能不能证明”这个角度，公理系统不完备，但可不是说这个系统“不够用”。

> 读者 James：
> 万老师，日课中提到这么一句: 假设在另一个宇宙中，有一个外星文明，他们那里连物理定律都跟我们的不一样。我的问题是，既然另一个宇宙的物理定律都可以不一样，那为什么所有宇宙的数学定律就必须要一样呢？ 或许另一个宇宙有不同的运行法则，有一套完全不同的数学系统，我们这个宇宙的数学不也是通过观察总结本宇宙的一些现象而建立的吗？希望万老师解惑。

> 万维钢

我们这个宇宙的空间是三维的，那数学家为什么还能想象并且完善了一整套四维空间、甚至多维空间的几何学呢？因为数学自己就是自己的推动力。当你意识到“维度”这个概念之后，你马上就会想到有没有更高的维度。

再比如说，日常生活中的一切似乎都能用有理数表示，那为什么数学家能想到无理数和复数呢？这些概念不是来自数学家对生活的观察，而是来自数学本身。

不管你是哪个文明，你总得数数吧？一个手指头加上一个手指头，必然是两个手指头，这跟你们宇宙的物理定律没关系。于是你就有了自然数，有了加法和减法。有了减法你就有了负数。可能为了快速算加法，你就有了乘法，同时你还会有除法。有了乘法，你就有了“平方”的概念。

有了平方你就会想到开方，当你对2开方，你就想到了无理数。当你对(-1)开方，你就有了虚数。以上这些推导都是数学本身驱动的 —— 所以不论是哪个文明，都会有跟我们本质上一样的数学。

外星文明对数学认识的起点可能跟我们不一样，符号可能不一样，但是他们如果足够聪明，就必然也能想到那些最基本的概念，并且以此出发，推导出整个数学王国。

> 读者 guess：
> 数学王国有无数个数学结构，每个数学结构对应一个数学宇宙，那么数学王国自身有没有一个最最终极的理论，可以解释每个数学结构？

> 万维钢

没有必要。数学结构就在那里，无须解释。整个数学结构并不是数学家拍脑袋设计出来的，而是一层一层、一棵树一棵树严密推导出来的。

或者也可以说，数学王国“最最终极的理论”，就是“你得讲理”！

> 读者 HAQ：
> 万老师那是不是说，如果找到一组数学公式能够解出同时垂直于我们三维空间的三条轴的另一条直线就可以预言四维空间的真实存在呢？

> 万维钢

四维空间本来就是真实存在，在数学上 N 维空间都是存在的。你可以说有很多数学宇宙，里面的空间就是四位或者更多维的。

这样的数学宇宙存在是存在，但是其中并没有有生命。从数学上可以证明，四维、或者更高维空间中，行星的轨道是不稳定的！没有稳定的行星轨道，就没有地方演化出生命来。

所以说，并不是“一切可能都存在”，而是一切*数学上允许的东西*，才存在。

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