## 量子力学8：狄拉克统领量子电动力学

上世纪二三十年代，物理学的天空可谓是群星璀璨。量子力学刚刚创立，微观世界一下子出了好多地盘等着被人占领，那真是人人争先，都想着建功立业青史留名。

而且过了这个村，可就没这个店了。等到 1940 年代以后，量子力学已经成熟了，再想做出重大发现就越来越难了。所以有个著名的说法叫做当时二流的物理学家能做出一流的工作，后来一流的物理学家只能做二流的工作。

但是以我之见，参与创立量子力学的这些物理学家，可真没有一个是二流。他们是要算力有算力，要灵气有灵气，要思想有思想，要个性有个性的一代人……跟他们相比，今天的科学家真没有多少展现自我的机会，有些人跟木匠和包工头差不多。所以千万不要低估当时的天下英雄。德布罗意和薛定谔刚刚接力完成“量子波”的单点突破，各路英雄就迅速跟上，量子力学全面开花。

这其中最厉害的一位，以我之见，还要数保罗·狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac）。

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薛定谔方程一出来，理论物理学家们马上面临两个问题。一个是电动力学现在得改写了。我们前面讲了，麦克斯韦的旧理论里没有光子，还认为电子有一个明确的轨道，那个轨道还会辐射能量，这些明显都不管用了。另一个问题是，薛定谔方程是个低能量方程，它不满足狭义相对论的时空观。

物理学家迫切需要把电动力学、薛定谔方程和狭义相对论统一起来，弄一个“量子电动力学”。

把这件事干成的主力人物，正是保罗·狄拉克。1928 年，也就是薛定谔方程刚刚发表两年之后，26 岁的狄拉克就把量子电动力学的关键理论给做出来了。你想想狄拉克得有多么强悍的数学能力。

融合了相对论的波动方程就叫“狄拉克方程”。那么按照物理学家的常规操作，下一步就是看看这个新方程能不能解出新的物理学来。

狄拉克解出了两个新东西。

一个是 1931 年的时候，狄拉克发现他那个方程的解里面，除了寻常的、带负电的电子之外，还有一种质量和电子一样、但是带正电的东西，可以叫做“正电子”。强势的狄拉克说，既然我这个方程里有正电子，正电子就应该存在。

结果仅仅过了一年，美国的实验物理学家就发现了正电子。正电子也是人类所知道的第一种“反物质”。狄拉克据此拿到 1933 年诺贝尔物理奖。

这个世界为什么会有反物质存在？因为数学要求它们存在。

狄拉克方程解出的另一个新东西，叫做“自旋”。

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其实早在1922年，实验物理学家就已经发现了自旋。

这个实验是以发明者的名字命名的，叫“斯特恩-盖拉赫实验”。如下图所示 ——

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把一束银原子从高温炉中射出，经过一个外加的磁场之后，打在屏幕上，变成了两束。而这很奇怪。

磁场为什么能偏转银原子的飞行路线呢？银原子是电中性的，但是它的最外层有一个“非配对”的电子，你可以把银原子想象成是一个单个电子绕着原子核旋转的东西。根据最简单的电磁学，电子的这个绕行，形成了一个小小的环绕电流，就把银原子变成了一个小小的磁铁。磁铁，当然会被外部的磁场影响。

但如果仅仅是这样，射线应该是被*连续地*偏转，打在屏幕上应该是连续的一条短线才对 —— 为什么现在射线是被正好分成了两束，打在屏幕上是两个亮点呢？

唯一的解释是，电子在绕着原子核的旋转之外，自身还有一个别的什么旋转 —— 而它自身的旋转角动量是*量子化*的，只有“1/2”和“-1/2”两个取值，对应上下两束射线。我们把这个多出来的、电子自身的旋转，叫做“自旋”。

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但是实验物理学家不知道自旋是从哪来的。电子自旋的 ±1/2 是实验凑出来的数。那这一回谁能解释自旋呢？

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狄拉克 1926 年的时候在哥本哈根和玻尔、海森堡一起做研究。当时海森堡说，三年之内肯定能有理论解释自旋这种现象。而狄拉克认为用不了三年，三个月就够……他过分乐观了，不过两年之后，狄拉克用自己的方程解出了自旋。

自旋，是狄拉克方程内在的要求。但是我劝你放弃对自旋的形象化理解。如果你把电子想象成一个小球，自旋是这个小球的自转，自旋的正负号是自转的方向，那么电子的自旋是1/2这个事实意味着这个小球必须得两圈，才能回到原来的样子！

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日常生活里哪有这样的小球。再说根据电子的质量和自旋角动量计算，这个小球自转的表面速度已经超过光速了，这也不合理。

你只需要知道，自旋是电子的一个内在属性，是一个具有角动量特点的性质。当物理定律说“角动量守恒”的时候，是说电子的 总角动量 = 轨道角动量 + 自旋角动量，是守恒的。

有了自旋这个概念，我们就可以更深刻地理解量子力学了。

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我们要讲自旋的一个性质，这个性质跟日常生活里的事情非常不一样，以至于我实在不知道该怎么打比方 —— 但是理解这个性质，对你理解“量子态”很有意义。

回到刚才的斯特恩-盖拉赫实验，外加磁场把银原子束一分为二，一半向上一半向下，这说明最外层那个电子的自旋，正好一半是 1/2，一半是 -1/2。我们只考虑正负号，那么电子的状态，就可以写成 ——

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我们用了狄拉克发明的“半个括号” （ “| >”） 来表示一个量子态，这个公式说的就是电子的量子态可以写成自旋方向是 + 和 - 的两个量子态之和。其中的“根号 2 分之一”是为了保证每个态的概率都是 1/2：别忘了，概率等于波函数绝对值的平方。

你注意到没有，这个对自旋的描述，跟“波”完全没关系，这里面没有任何波动性。量子态并不一定非得有波！“波函数”、“波粒二象性”，这些名词都是历史路径依赖带来的。更科学的叫法是“态函数（state function）”和“量子叠加态”。

上面那个公式可以这么说：以自旋而论，电子处于 + 和 - 两个自旋的叠加态。实验观测会让它“坍缩（collapse）”到其中一个态上去，而坍缩到每个态的概率都是1/2，所以银原子被分成了两束。

这没问题吧？好，现在我们来考虑一个烧脑的实验过程。这个过程非常精妙，请你仔细体会。

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你想过没有，为什么斯特恩-盖拉赫实验中电子的自旋的 + - 取向，正好和外加磁场的方向一致呢？正好是一个向上一个向下。难道说电子在决定自己如何自旋之前，知道外加磁场是什么方向的吗？

那当然不能这么说。我们只能理解为，你任选一个方向，电子自旋都是那个方向上的叠加态。比如假设磁场是空间中的 z 方向，那么我们就可以说 ——

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你把磁场换成 x 方向，电子的态函数也可以写成 ——

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也就是说，电子的状态本来是“不可说”的！是你非要在一个方向上做实验，逼着电子在这个方向上“表态”，它才不得不表现为两个自旋的叠加态！

是你的观测，给了电子一个自我表达的视角。电子本来没有视角。

理解了这一点，我们再看下一步。

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我们设想，银原子经过了一个 z 方向上的斯特恩-盖拉赫磁场之后，你引出了其中代表电子自旋是 +1/2 的那一束。你非常清楚，现在这些电子的态函数是 。现在如果你把这一束  银原子再过一遍 z 方向上的斯特恩-盖拉赫磁场，它就不会变成两束了，会保持一束。它对自己的表态很忠诚。

那好，现在我们把这一束  银原子，在 x 方向上再经过一个斯特恩-盖拉赫磁场，你猜你会得到什么？

你仍然会得到 x 方向上的两束。也就是说这个“z 方向自旋为 +”的态函数，还可以用 x 方向上的两个自旋态叠加 ——

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因为 x 方向和 z 方向是完全垂直的，等于是互相没关系，所以两个叠加态的概率仍然是各自 1/2 [1]。

宏观世界里没有这样的事情！比如我们知道地球有个自转，这个自转的方向是固定的。你沿着地轴方向问地球的“自旋”，地球会告诉你是 1；你换一个垂直方向再问地球的自旋，地球只会告诉你，它在那个方向上没有自旋，或者说自旋是 0。但是电子的自旋量子数只有 ±1/2 这两个选项！在 z 方向是 +1/2，换成 x 方向再测，又是 ±1/2。

这就等于说，哪怕电子已经在一个方向上明确表态了，你还可以逼着它在另一个方向上再表态一次。它仍然处在第二个方向上的量子叠加态中。这是自旋的一个非常奇妙的性质。自旋不会死，它可以变。

而自旋之所以不死，也可以理解成是海森堡不确定性的要求：你不能同时确定一个电子在 z 和 x 两个方向上的自旋。一个确定了，另一个马上变得不确定。

我们再来一步。从第二个斯特恩-盖拉赫装置（x 方向）中出来的两束银原子中，我们再选其中代表 x 方向自旋是 + 的一束，也就是然后再让它过一次 z 方向上的斯特恩-盖拉赫装置，你猜会怎样？

整个实验过程是像下面这样的 ——

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答案是银原子又被分成了两束。

你体会一下这个过程。从第一个磁场出来，我们已经选择了 z 方向为正这一束，这些电子已经对 z 方向表过态了。可是在第三个磁场上你又让它们对 z 方向表态，它们再次变成了叠加态。这是为什么呢？因为过第二个磁场在 x 方向上的表态，破坏了前面在 z 方向上的表态，现在它必须重新表态 ——

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电子任何时候都有自旋，它的自旋永不停息 —— 但是它的自旋可以完全没有明确的方向：你在哪个方向上让它表态，它总是告诉你它的自旋在这个方向上或者是 +1/2，或者是 -1/2。你换个方向再问，它又是同样完整地表态。

如果让我强行打个比方，电子就相当于是这么一位“老张”。你问老张支持美国哪个党，老张说我是个全职的政治活动家，我一半的时间全力以赴支持共和党，一半的时间全力以赴支持民主党。然后你又问老张是否相信全球变暖学说，老张说我是个全职的气候运动活动家，我一半的时间全力以赴宣传全球变暖学说，一半的时间全力以赴反对全球变暖学说。

你心想，老张能同时拥有两种相反的立场，这已经够神奇的了 —— 可是更神奇的是，他为什么不管干啥都是“全职”呢？他到底全职搞政治还是全职搞气候运动？老张到底是干啥的呢？

电子干啥，完全取决于你怎么问它。理解了这一点，现在我们可以说说到底该如何理解量子力学现象了。

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这个很后来才有的、更深刻的理解，叫做“冯·诺依曼投影公设（projection postulate）”。它出自数学家和物理学家、计算机之父、博弈论之父，约翰·冯·诺依曼（John von Neumann）。冯·诺依曼可能是近代最聪明的人 [3]，但是你不要被他的名气所吓倒，我们要说的意思很简单 ——

第一，每个量子态，都可以展开成一系列基本的量子态的叠加 [2] ——

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第二，一次实验观测之后，系统就“坍缩”到其中某一个态 e_i。而到底坍缩到哪个态，由系数 c_i 的绝对值的平方决定。

第三，从此之后，系统就一直处于 e_i 这个态。但如果这个 e_i 态还有不确定性，系统就可以再次被观测到别的态，方法仍然是用量子态叠加展开。

根据这个理解，薛定谔的波函数是什么呢？那无非就是量子态在位置和动量这两个视角上的连续叠加展开。为什么电子打在屏幕上就变成粒子了？因为不确定性消失了，没有叠加态了。为什么 z 方向上已经表过态的电子还能在 x 方向上再表一次态？因为不确定性还在，还能继续展开成叠加态。

量子力学是表态的科学，实验是对不确定性的操弄。

有了自旋，我们就可以用量子力学解释世间万物为什么是我们看到的这个样子了，咱们下一讲再说。

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狄拉克总是追求物理学的数学美。玻尔曾说，“在所有的物理学家中，狄拉克拥有最纯洁的灵魂。”杨振宁说，狄拉克的文章给人“秋水文章不染尘”的感受，没有任何渣滓，直达深处，直达宇宙的奥秘。

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