## 排序不等式

这一讲咱们说点数学……其实也不是说数学，而是说一个数学决定的道理。如果你在中学时代搞过奥数，你可能听说过“排序不等式”。你要没听说过也没关系，这是一个非常简单的不等式，初中生都能明白。我建议你了解一下排序不等式，它能告诉你“效率”和“公平”的本质关系。

比如你开了一家商场，平时客流量少，周末客流量多。我们把平时和周末的流量设为 x1 和 x2，而 x1 < x2。你运营商场有两种方法，一个是常规方法，效果一般，设为 y1；一个是搞活动促销，效果会好很多，设为 y2，y1 < y2。我们知道商店的收入是由流量和运营共同决定的，相当于是 x 乘以 y。那请问，搞活动促销这个手段，你是用在平时呢，还是周末呢？

答案当然是周末。好钢得用在刀刃上。你关心的是总销量，而不是特定某一天的销量。总销量而论，

x1·y1 + x2·y2 > x1·y2 + x2·y1，

也就是大数乘大数加上小数乘小数，大于大数乘小数加小数乘大数。这就叫排序不等式。一般来说，如果你有两组数字，你先把它们各自排好序，

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那么它们交叉相乘的结果，满足下面这个不等式 ——

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简单说就是按照从小到大的“顺序”相乘的和最大；按照相反顺序，也就是“逆序”相乘的和最小；混乱顺序则处于二者之间。再说的简单点，就是让最大的和最大的结合、最小的和最小的结合，总的效果总是好于让大的和小的结合。

排序不等式的证明很简单。把排序不等式玩好了，在数学竞赛里可以有眼花缭乱、出神入化的应用，但我们要说的不是那些。最关键的是，我们熟悉的那些不等式，比如什么“算数平均值大于几何平均值”、什么“柯西不等式”、什么“车比雪夫不等式”，都可以从排序不等式推导出来。

排序不等式，是最底层的“不平等关系”。

而正是因为这个逻辑，“效率”和“公平”本质上是矛盾的。

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比如你是某个决策者，你现在手里有个大项目，放在哪个地区都能提升当地的经济发展。那请问，你是把它放在经济发达地区呢，还是边远落后地区呢？

只要你关心的是全国经济总量的提升，你想通过这个项目创造更多的税收，你就应该坚决投发达地区。同样是提升 1%，发达地区的乘数要大得多。

谁都喜欢大数，但是大数最能让大数发挥作用。世界上的很多配合不是加法、而是乘法关系。资源和人才往往不是一个加数，而是一个因子：把这个因子扩大一点点，整个这一块都能放大这么高的比例。所以最好的资源应该用在最赚钱的地方，最厉害的人员应该放在最关键的岗位。最好的电影应该乘以最好的导演再乘以最好的演员、然后给最多的院线排期。

这就是为什么好东西总爱扎堆，有志向的年轻人非得去大城市。这也是为什么会有马太效应，为什么人人都想跟最好的合作。这也是为什么市场总是让财富分布不平等。

排序不等式，是资源配置的“零阶道理”。

当然，世界是复杂的，事物的发展常常是非线性的，什么东西太多了都会发生边际效应递减。也许这个项目在发达地区的发展空间已经饱和了，也许那个地区暂时落后，以后的发展潜力大，也许大城市生活成本太高了，也许最优秀的导演不会重视你这个剧本，应该找最合适的 —— 但是那些都是对零阶道理的一阶、或者高阶修正：零阶道理仍然是零阶道理。我们做决策必须首先考虑零阶道理，只有在证实了零阶道理在这里不行的情况下，我们才应该考虑那些修正。

有几种情况，会让排序不等式起不上作用。

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教育系统有重点大学、重点中学，同一个学校里还会有重点班，重点班的老师是全校最好的。这完全符合排序不等式，教育系统希望培养高水平人才。但是你注意到没有，在任何一个班级里，老师重点关注的，往往不是最好的学生。这是为啥呢？

因为学习成绩有上限。你分数再高，也不能比满分还高。第一名有时候考 97 分有时候考 100 分，满分附近都是随机波动，而对全班总成绩几乎没有影响。真花点功夫，如果老师能把 60 分的那个同学提高到 75 分，那可是显著的提高。社会需要优秀人才，但是对老师来说，在好学生身上花功夫没有意义。

很多系统对组成部分的要求是有上限的。你造一个大桥，不会重点打造其中一个桥墩，如果别的地方出问题这个桥墩再好也没用。汽车上的零件也不是越“好”越好，最理想的情况是所有难以更换的零件的磨损寿命是一样的。

还有一种系统，比如福利系统，则要求各个相加项的大小有一个下限。是，在贫困山区建设通讯基站效率不高，但是贫困山区需要通讯基站。福利系统解决的是公平问题。这种系统有时候会把最好的官员排到最贫困的地区去，并不指望他们创造什么效益，只是希望提高那些地区的下限。而既然是为了公平，那就必然牺牲了效率。

安全系统也强调下限。只要是防守，我们最关心的一定是最薄弱的地方，要把最好的资源和人手放在那个地方。

个人只能做一个乘法因子，管理者要的却是相乘再相加。如果你是一个系统的运行者，你必须清楚判断这是一个不设限系统，还是一个有上限或者下限的系统。

公司在乎的是总收入，本质上是个不设限的系统。排序不等式告诉我们这样的系统应该狠抓“长板”，因为长板最能提高总量。有下限的系统最关心的是短板，而有上限的系统最希望每块板都差不多。

作为个体，如果你认为自己是个大数因子，那你最好不要待在有上限的系统中。教育系统搞搞数学竞赛什么的，也算是给好学生一个出路。

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这个道理很明白，但是我感觉人们对它贯彻得还不够。我们过多地受到了“公平”这个直觉的影响，总想把什么东西都弄均匀一点，这其实是一个思维偏误。

我们假设你们车间有两条生产线，每条生产线需要两个人先后动作，共同完成一件产品。现在你有四个工人，老张和老李的良品率都是 95%，小张和小李的良品率都是 75%。那请问，你应该把这四个人怎么分组呢？

直觉的分法，是让老张和小张一组，老李和小李一组，这样两个组的良品率是一样的，都是 0.95×0.75 = 71%。你可能觉得这样分组还能让高手带一带低手，能起到骨干作用。

我不知道那个高手“带动”低手的效应能有多大，但是我知道，排序不等式要求你让老张和老李一组，小张和小李一组。你的高手组良品率将是 0.95×0.95 = 90%，低手良品率将是 0.75×0.75 = 56%，而你的总良品率是两组的平均值，也就是 73% —— 高于高低搭配分组的 71%。

排序不等式要求你让高手跟高手搭配，弄一个特种部队。虽然这会降低其他组的效率，但是你的总效率是最高的。而且你也不用太担心少了带动作用，高手跟高手在一起互相激发，也许还能进一步提高效率。

也就是说，哪怕是在这个只是追求良品率、高手没有太多发挥空间的局面中，根本谈不上什么突破式的创收，我们也应该搞强强联合。那我们再回过头去想想，老师之所以不重视好学生，并不仅仅是因为好学生成绩有上限 —— 也是因为好学生不用老师管自己就能好好学。如果每个学生的成绩都跟老师在他身上花的功夫是乘法关系，老师还是得最重视好学生。

只要是涉及到这种需要密切配合、是乘法关系的局面，就应该抽调最强的人马组建特种部队。哪怕所有人做的事本质上都一样，也应该让高手跟高手搭配。

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搞平均符合直觉，但是违反数学。

我们个人的生活和学习不也是这样的吗？直觉上你可能认为应该把每一件事都做好，每个学科都学好，其实不是。数学要求这是一个长板的世界：你应该把最好的精力、最多的时间用在最能体现你价值的项目上。

设重点、偏科、不均匀、走极端，这才是自然之道。

### 💡 精华要点
- 大数乘大数加上小数乘小数，大于大数乘小数加小数乘大数。这就叫排序不等式。正是因为这个逻辑，“效率”和“公平”本质上是矛盾的。
- 只要是涉及到需要密切配合、是乘法关系的局面，就应该抽调最强的人马组建特种部队。哪怕所有人做的事本质上都一样，也应该让高手跟高手搭配。
- 设重点、偏科、不均匀、走极端，这才是自然之道。

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