## 怎样用不时髦的方法学好初等数学

上个月我们有一期文章，《天才少年还是靠谱的》，说如果你想判断一个小孩是不是真正的天才，将来能不能取得了不起的成就，那他的数学成绩，是比智商更靠谱的一个预测指标。那篇文章引用的研究结果告诉我们，像陶哲轩这样超一流的人物，的确是天生的。

天才没有可操作性，我们只能是望尘莫及。其实我们更关心的问题是，一般人如果想学好数学，应该怎么办呢？我们把“好”的标准降低一点，不是职业数学家那种水平，而是学到能在应用学科中对数学运用自如的程度 —— 比如说达到一个工程系教授的水平。这总不需要天纵奇才吧？

我最近看到《鹦鹉螺季刊》（Nautilus Quarterly）上的一篇长文，How I Rewired My Brain to Become Fluent in Math （我怎样通过重组大脑来熟练掌握数学），正好说的就是这个问题。

此文作者叫芭芭拉·奥克利（Barbara Oakley），是个女的。奥克利从小数学很差，可以说是畏惧数学和一切理工科，高中毕业后上了个专科学校学俄语。后来她凭借俄语能力在美军服役。退伍后人生没有目标，觉得当个俄语翻译没意思。

奥克利的人生至此非常正常。然后，26岁的奥克利，产生了一个不正常的想法。

她偶然想起在军中见到的那些来自西点军校的高材生，用理工科思维解决问题的姿势真是漂亮，她想到，干这样的工作才有意义。于是这位学俄语出身、数学基础几乎为零的退伍女兵，决心从头开始，改学理工科。

结果真到了大学，奥克利又跟不上课程，不得不先和一帮比自己小得多的大学新生坐在一起，补习高中水平的数学。

那一刻，是奇迹开始的时刻。从此之后二十五年，奥克利几乎没有再说过俄语，而她的数学水平突飞猛进。现在奥克利是奥克兰大学工程学教授，出了一本专门告诉别人怎么学数学的书，A Mind for Numbers: How to Excel at Math and Science (Even If You Flunked Algebra) （《数字之心：怎样在数学和科学出色》），还跟人合作创办了一个网络课程，Learning How to Learn （学习怎样学习）。

她是用自己以前学俄语的方法学数学。

学外语，我们都知道，你能理解一个单词是什么意思，和能把这个单词运用自如，是两个完全不同的水平。真正想要学好外语的人，不能光追求理解，还得追求流利。这意味着学个新单词，你必须在各种场合下重复使用这个词，你不但要知道在什么情况下可以用这个词，还得知道在什么情况下不能用这个词。反复练习，不断试错，达到流利的境界以后，你才算真正理解了这个词。

如果没有达到流利，你所谓的理解其实就是个幻觉。别人快速说一句话，可能你认识其中每一个单词，但你就是不明白这句话是什么意思。

奥克利说，学数学也是这个道理。现在美国的数学老师过分评价“理解”，以为学生理解了就好，而没有重视“流利”。所以我们看美国学生在课堂上表现都挺好，讨论个什么问题侃侃而谈，老师一看他肯定是真的理解了 —— 结果一到考试就不行。

一个中国教育家可能会说，这说明美国不搞应试教育，考试能力差没什么，关键在于理解和创造力。而奥克利认为，如果你没有做到流利，你怎么可能有真正的理解？

奥克利如果学到一个新的数学公式，比如牛顿力学里的 f = ma，她会像学到一个新的俄语单词一样，反复演练这个公式在各种不同情况下的用法。这其实就跟中国学生刷练习题一样，只不过奥克利可能接触不到那么多练习题，她有时候会自己在脑子里想象这个公式新用法。比如说，如果 f 很大，m 很小，那么这对 a 意味着什么？

奥克利这个办法，其实研究人脑学习机制的科学家早就明白，这就是“ 分块（chunks） ”。说白了就是学习套路。你把知识拆解成各种不同的“块”，通过各种重复训练，这些“块”就会以脑神经元连接的方式“长”在你的大脑之中。—— 这里我们说的“长”可不是比喻，而是切切实实地，你的大脑里出现了这么一个硬件组织。

脑子里长了这个“块”，就好像一台计算机里安装了一个子程序一样。将来要用到这个套路的时候你就根本不用有意识地现场琢磨怎么办，系统直接调用子程序，你可能完全无意识的就把这招给使出来了。这才叫流利。

我们看一个勤学苦练多年的高三学生做数学题，就是这样的境界：出题人的套路他都明白根本不用多想，见招拆招，中规中矩，一板一眼，到最后行云流水。如果有艺术家能把他的解题思路用武打动作表现出来，肯定打得像李连杰一样漂亮。

这时候你再问他是否理解了那个数学公式，他肯定会说：经历了大小几百次战斗，我才真正明白当初师父传授给我的这一招到底是什么意思 —— 真是一身伤痕，换一分体会。

奥克利说，“理解”并不能带来“流利”，恰恰相反，其实是“流利”，才能带来真正的理解。

最后还有个小花絮。奥克利改换门庭，二十五年不说俄语之后，终于有一次前往俄罗斯旅游。她很担心自己把俄语已经全忘了，刚到俄罗斯一说话也的确是磕磕巴巴基本上是个小孩的水平。可是短短几天之后，她说俄语越来越流利，最后有一次因为跟出租车司机争执，竟然脱口而出了一句自己根本就不知道自己还记得的，的哥水平的高级俄语！

这就叫，把一个技能，“长”在了大脑之中。

奥克利说的，其实就是刻意练习。我自己在《万万没想到》这本书里仔细讲过刻意练习，罗胖有一期节目叫《怎样成为一个高手》，说的也是刻意练习。那么本着崇尚重复的精神，我们再来回顾一下刻意练习的几个特点：

我说过，当然更重要的是很多高手都说过，所谓“寓教于乐”纯属胡扯。如果寓教于乐就能把人变成高手，高手的工资也太好拿了。

而奥克利则用亲身经历告诉我们，夸夸其谈的所谓“理解”，其实也是个幻觉。

我觉得那些妖魔化勤学苦练，刻意拔高“理解”的教育家，其实不是在培养专业人才，而是在培养体育评论员。像金庸那样能用各种创造性的语言描写武功的确也是个本事，可能你都想跟他学两招，但是一动手你就会发现他仅仅是个解说员。

> 万维钢
> 今天我们提到，一个技能“块”只要长在了人的大脑之中，我们就可以无意识地把它给使出来。但真正的职业选手在比赛中往往并不是完全无意识的，他们需要时刻监测自己的一举一动，不让自己进入自动化。那么这个度又该怎么把握呢？
> “流利”，只要练得多人人都能做到。可是顶尖高手必须超越“流利”，他们能做到“游刃有余”、“如入无人之境”，那到底是一种什么样的境界？
> 这是我们明天的话题。我们要说一本特别有新意的书。

### 💡 精华要点
- 刻意练习的几个特点：
- 1. 只在“学习区”练习；
- 2. 把训练内容分为有针对性的小块，对每一个小块进行重复练习，直到把这个套路“长”在大脑之中；
- 3. 练习中要随时获得有效的反馈 —— 考试就是很好的反馈；
- 4. 练习时注意力必须高度集中 —— 所以刻意练习不好玩。

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