## 怎么理解特别大和特别小的数

我最近听说这么一个笑话。从前有个老太太，领着自己的小孙子在海边玩。突然一个巨浪把小孙子卷入了海里。老太太不会游泳非常无助，她大喊 —— 上帝啊！救救我的孙子！也许是上帝听见了她的祈祷，又一个浪过来把小孙子毫发无伤地送回了老太太身边。老太太抱着孙子，非常感动，她接着对上帝说：“我孙子还有一顶帽子呢！”

这个笑话的精神是“ 重要和不重要 ”。我们考虑重要事情的时候，得善于忽略不重要的东西。最起码的判断标准，就是数字大小。这个道理似乎特别简单，但是“判断大小”其实没那么容易。

十亿到底有多大？0.0001%到底有多小？理解这些数字，需要下点功夫。

今天咱们就用两本书来切磋一下这个功夫。这两本书都是数学家写的。第一本是经典著作，叫《数盲：数学无知者眼中的迷惘》（Innumeracy），作者是约翰·艾伦·保罗士 (John Allen Paulos) ；第二本是新书，中文版出版社给起了个媚俗的书名，叫《魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量》（ How Not to Be Wrong: The Power of Mathematical Thinking ），作者是乔丹·艾伦伯格 (Jordan Ellenberg)。

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我们在日常生活中经常接触的数字都比较小，比如几十、几百，我们头脑中能非常形象地知道它是什么意思。但是特别大的数就很难有直观的印象了。《数盲》的作者保罗士建议我们在头脑中训练自己对大数的印象。

谈论大数，我们得有“数量级”的观念 —— 也就是10的多少次方，一个数量级的差距就是差10倍。对大数来说，几倍的差异你甚至都可以当他们是相等的（物理学的说法是它们在“同一个数量级”），数量级的差异才值得考虑。

我们最好能对不同的数量级有个形象的理解。一千，相当于一所中学的学生总数。一万，相当于一座体育场里的观众人数。十万相当于一本书的字数。100万是什么概念？如果你每秒数一个数，数到100万需要11天半。以此类推，10亿相当于中国的人口。

再大的数字就不好想象了。10亿元和1000亿元相差了100倍，可是我们头脑中的形象，这两个都是“很大一笔钱”。很大一笔，到底是多少钱呢？

2014年我看《彭博商业周刊》上有篇文章，呼吁大家不要在开车的时候给手机充电。文章说车上的电都是燃烧汽油而来的，这种发电模式太浪费了 —— 有多浪费呢？每年因为美国人在车上给手机充电，总共多消耗了价值两亿美元的石油！

这大概是我所看过最愚蠢的正经文章之一。两亿美元？这个数字很大吗？美国开车的人差不多都有两亿，相当于每人每年多花1美元！而这1美元可以让人在车上给手机充电 —— 不知道省去多少麻烦，你因为一次忘记在家充电的损失就可能超过1美元 —— 这可能是你所花过的最值的1美元。

所以理解大数的一个好办法是除以全国人口。

不过上亿元的事儿一般都不叫事儿，叫新闻。跟我们日常生活关系更大的不是这些大数，而是小数。

风险都是小数。描写风险的科学办法是给一个概率，可是我们很难形象理解特别小的概率。比如说，你担心因为被蜜蜂蛰而死吗？你担心吃东西噎死吗？最好先看看概率再担心。

《经济学人》杂志曾发表过一张很长的图，图中列举了每年美国人死于各种事件的概率 ——

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每年死于吃东西噎死的概率是十万分之一，死于被蜜蜂或者黄蜂蛰的概率是2500万分之一……但是你都不应该担心。最值得担心的其实是心脏病，467分之一；各种意外事故加在一起的死亡率也才1656分之一；排在第三位的是自杀，8000分之一。剩下的死亡危险都有数量级上的差异，与前三项相比根本不足为虑。

我看《经济学人》这张图的一个优点就在于它把特别小概率事件 ——比如死于流星撞击，7500万分之一 —— 都给画出来了，而且还是按比例画的，能让我们特别直观地感受到需要有多么多的人，才能找到一个这种死法的。为了提供这个直观感受，《经济学人》不得不把图画得特别长。

可是一般的“风险知识”就没这么厚道了。比如说，吃某某食物能把得某某疾病的风险增大一倍 —— 这应该怎么理解呢？

《魔鬼数学》中就有一个例子。英国有一种口服避孕药，效果很好很受欢迎，但是政府研究发现，这种避孕药会使得妇女得血栓的风险增加一倍，就向全国医生发布了一份报告，说开这个药的时候要谨慎一点。结果报告上了报纸，很多女性听说以后就干脆什么避孕药也不吃了，结果英国一年内多了好几万妇女怀孕，还增加了13000起人工流产。

根本问题在于，人得血栓的风险到底有多大呢？事实上，一个育龄妇女得血栓的概率只有1/7000，这本来就是一个极小的数字 —— 你把一个小数乘以2，变成2/7000，还是一个小数！而且血栓不是绝症，得了也不一定死。有人专门做了计算，如果英国妇女正常吃这种避孕药，那么全英国每年会有多少人因为这个药而得血栓而死呢？差不多是一个。

那你可能说，生命无价，多死一个也不行！有道理，可是因为不吃这个药，多死的一万多婴儿又怎么算呢？

《魔鬼数学》书里还有个例子。美国的托儿所有两种。一种是在老师自己家办的，一个老师带四五个孩子，学费比较便宜。另一种是正规托儿所，人手多，设施齐全。好，现在数据显示，家庭托儿所中小孩因为事故死亡的概率是正规托儿所的7倍 —— 那请问，如果你特别注重安全，是不是应该把孩子送到正规托儿所去呢？

像这种问题千万不要只看倍数，一定要看看概率的绝对值。事实是全美国每年死于家庭托儿所的孩子只有10几个 —— 而与此同时，同样年龄的孩子死于交通事故的数量是每年79个。那么如果正规托儿所离家比较远，家庭托儿所离家比较近的话，哪怕距离只相差20%，你如果只考虑安全，就应该把孩子送到家庭托儿所去。

所以哪怕只考虑安全，也不能一听说有风险就变色，得把各种风险放在一起比较才行。

不过在我看来更好的思维方式是接受这个世界是有风险的。交通有风险，我们也不能不上街。与其担心各种极小概率的危险，还不如把心思用在别的事情上 —— 那些更重要的事情。

美国给退休人员发放的社保基金有个漏洞。有的人已经去世了，但是可能家属故意不报，也可能系统有问题，他的银行账号还能收到社保福利款。根据社会保险局估计，每年因为这个漏洞，有3100万美元的损失。那么面对这么大一笔钱，是不是应该赶紧想办法修补漏洞呢？

有人做了这么一个计算 —— 这3100万美元，相当于美国每年发放社保基金总数的0.004%。也就是说，社保基金发放的准确度高达99.996%，这简直是非常完美的系统！到了这个程度如果还想再做得更加完美一点，你往往需要付出很高的代价，花费巨大的行政成本 —— 这个代价可能远远高于3100万美元。

不看数量级，3100万美元是一笔巨款；一看数量级，这点损失不算什么。

什么东西都有弊端，但不是所有弊端都必须纠正。做任何事情都有利有弊，很多情况下如果你做个计算，利弊还是很容易看出来的，其中经常是数量级的差异。

一件不值钱、不知道什么时候会用到的旧东西，值不值得保留在价值千万的房子里以备不时之需？为了把孩子考上重点大学的概率增大一点 —— 这样他将来也许能获得更高的工资，住更大一点的房子，但一切都还是概率 —— 值不值得全家人在一个窄小的学区房里挤上十几年？

我们日常做判断，都是用系统1，主要是模式识别 —— 东西有毒，第一反应就是不吃；事情有危险，第一反应就是不做。可是什么叫有毒？多大的危险？0.01%和0.0001%的差别巨大，但是给我们的心理冲击是一样的。

生活中捡芝麻丢西瓜的事实在太多了。有的人买生活必需品的时候非常节省，买奢侈品的时候特别大方。有的人能为几十块钱货比三家，面对人生重大选择却异常草率。

忽略小事不是因为大胆，不是“个性”，而是理性。重视小事就等于忽略大事。你必须判断轻重缓急，把精力和资源放在最重要的事情上。

所以能够不顾心理冲击，坚决使用这种“数量级思维”，是一种“大人物思维”。别人看三千万美元很多，他看三千万美元很少。别人认为这个事儿实在受不了，他对这个事儿根本不在乎。这种“大人有大量”，不是装出来的，也不是“养吾浩然正气”养出来的，是算出来的。

见识过、计算过、能做出理性决定，这才叫有胆有识。

来自《数盲》这本书，大概需要有点大小尺度的观念才能体会到 —— 有一对90多岁的老夫妇闹离婚，请律师办手续。律师问他们，在一起都生活一辈子了，怎么这时候离婚？老夫妇说，早就决定离婚了，怕给孩子们造成伤害，所以等到孩子都去世以后再离。

### 💡 精华要点
- 1. 忽略小事不是因为大胆，不是“个性”，而是理性
- 2. 重视小事就等于忽略大事。你必须判断轻重缓急，把精力和资源放在最重要的事情上。

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